Le théorème de mappage ouvert peut échouer si le codomain n'est pas Banach

Question

Donner un exemple d'espace Banach $V$, un espace normé $W$, une carte surjective linéaire bornée $T: V \to W$ et un sous-ensemble ouvert $G \subseteq V$ tel que $T(G)$ n'est pas ouvert dans $W$.

Tentative : considérez$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ et $T: V \to V: f \mapsto f$. Clairement$T$ est une surjection linéaire avec $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$

alors $\Vert T \Vert \leq 1$ et $T$est délimité. De plus, nous avons$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.

Nous montrons maintenant que $G= B_\infty(0,1)$ n'est pas ouvert pour $\Vert \cdot \Vert_1$. En effet, supposons au contraire que$0$ est un $\Vert \cdot \Vert_1$-point intérieur de $G$. Ensuite il y a$\epsilon > 0$ tel que

$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$

Ainsi, pour $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ nous avons $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$

C'est à dire $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ pour $f \in C([0,1])$. Mais alors les normes$\Vert \cdot \Vert_1$ et $\Vert \cdot \Vert_\infty$ sont équivalents, ce qui implique que $W$est Banach. C'est une contradiction.

Question : Ma tentative est-elle correcte?

Answer 1

Oui, votre tentative est correcte.

L'équivalence des normes nécessite les deux inégalités, il serait donc bon de le mentionner.

Je pense que cela pourrait également être amélioré en expliquant pourquoi $W$ n'est pas un espace Banach.