Les anneaux compacts S-unital sont profinis

Question

Il est bien connu que les anneaux unitaux topologiques de Hausdorff compacts sont profinis. La preuve se généralise aux anneaux s-unitaux (gauche ou droit) (c'est-à-dire aux anneaux tels que pour tous$r\in R$ nous avons $r\in Rr$ ou pour tous $r\in R$ nous avons $r\in rR$).

Y a-t-il une référence pour ce fait plus général? Y a-t-il une autre généralisation (c'est-à-dire une classe intéressante d'anneaux, contenant des anneaux s-unitaux, pour laquelle Hausdorff compact implique profinite)?

(Notez que ce n'est pas vrai pour tous les anneaux, comme étant donné tout groupe abélien de Hausdorff compact $A$, nous pouvons doter $A$ avec une multiplication nulle, ce qui en fait un anneau topologique Hausdorff compact.)

Answer 1

Ceci est essentiellement répondu dans l'une des réponses à Est-ce que chaque anneau topologique compact est un anneau profinite? .

Si un anneau compact $R$ soit n'admet aucun élément $r\neq 0$ avec $rR=0$ou la double condition gauche-droite alors c'est profinite. C'est la condition que la carte de multiplication induit et l'incorporation de$R$ dans les endomorphismes du double de Pontryagin de son groupe additif qui est ce que vous utilisez pour prouver la déconnexion totale.

Voir Thm 3 de On Compact Topologica Rings. par Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244