Les catégories de foncteurs avec des codomaines triangulés sont-elles elles-mêmes triangulées?
Je suis assez convaincu que l'affirmation suivante est vraie (mais j'avoue que je n'ai pas encore vérifié l'axiome octaédrique):
Laisser $T$ être une catégorie triangulée et $C$toute catégorie (disons petit pour ne pas alarmer mes amis théoriciens). Ensuite, la catégorie des foncteurs$C \to T$ hérite d'une structure triangulée naturelle de T.
Par "naturel" et "hérite", je veux dire que la carte de décalage $[1]$ sur notre catégorie de foncteurs envoie chacun $F:C \to T$ au foncteur $F[1]$ satisfaisant $F[1](c) = F(c)[1]$ sur chaque objet $c$ de $C$; et de même, triangles distingués de foncteurs$$F \to G \to H \to F[1]$$ sont précisément ceux pour lesquels sur chaque objet $c$ de $C$ nous avons un triangle distingué dans $T$ de la forme $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
La question principale est de savoir si cela a été écrit dans un livre ou un papier standard (je n'ai pas pu le trouver dans Gelfand-Manin par exemple). Peut-être est-il jugé trop évident et relégué à un exercice élémentaire. Surtout, je suis intéressé à hériter des structures en T et des cœurs de$T$ aux catégories de foncteurs $C \to T$, et apprécierait toute référence disponible traitant de ces questions.
Réponses
La déclaration est fausse.
Par exemple, prenez $C=[1]\times [1]$ être un carré et $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$être la catégorie homotopique des spectres. Considérons maintenant le carré$X$ avec $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$, et les autres valeurs zéro, et l'autre carré $Y$ avec $Y(1,0) = S^1$ et $Y(1,1) = S^0$. Prenez les cartes$S^2 \to S^1$ et $S^1 \to S^0$ être $\eta$et considérez la transformation naturelle $X \to Y$ qui est donnée par multiplication par 2 sur $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
Si cette carte avait un cofibre, alors, du sommet initial au sommet final, nous aurions une carte $S^3 \to S^0$. En suivant la direction carrée, nous voyons que nous aurions un représentant pour le support Toda$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. Dans l'autre sens, nous factorisons par zéro. Mais cette parenthèse Toda se compose des classes$2\nu$ et $-2\nu$; en particulier, il ne contient pas de zéro.
[Bien sûr, cet exemple peut être généralisé à n'importe quel support Toda / Massey non trivial dans n'importe quelle catégorie triangulée avec laquelle vous êtes plus familier.]
En effet, le bracket Toda est exactement l'obstacle au `` remplissage du cube '' pour la transformation naturelle $X \to Y$.
Quoi qu'il en soit, c'est l'une des nombreuses raisons de laisser tomber les catégories triangulées au profit de l'une des nombreuses alternatives modernes (par exemple, stable $\infty$-catégories, dérivés, etc.).
Quant aux t-structures et ainsi de suite, au pays de l'écurie $\infty$-catégories ce sont faciles à trouver. (Voir, par exemple, la section 1.2.1 d'Algèbre supérieure et la proposition 1.4.4.11 pour diverses astuces pour les construire.)
L'exemple de Dylan Wilson est excellent. Permettez-moi d'en offrir un autre, avec une saveur plus algébrique et "finitiste".
À mon avis, la catégorie triangulée la plus simple $\mathcal{T}$ est la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur un champ $k$, avec foncteur de suspension d'identité (aka traduction) et $3$-séquences exactes longues périodiques sous forme de triangles exacts. (C'est en fait la seule structure triangulée portée par$\mathcal{T}$ jusqu'à l'équivalence.)
Laisser $C_2$ être le groupe d'ordre cyclique $2$(considéré comme une catégorie avec un seul objet). Puis la catégorie de foncteurs$\mathcal{T}^{C_2}$ est la catégorie des modules finis sur l'algèbre de groupe $k[C_2]$. C'est la même chose que la catégorie des modules projectifs de génération finie sur la soi-disant algèbre d'Auslander$B$ de $k[C_2]$. Par un résultat Freyd, si$\mathcal{T}^{C_2}$ ont été triangulés alors $B$ serait auto-injectable.
Si $k$ a la caractéristique $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ est l'algèbre des nombres doubles et $B$ est l'algèbre d'endomorphisme du $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-module $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. Cette$B$n'est pas auto-injectable. En effet, depuis$k$ a la caractéristique $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ n'est pas semi-simple, donc $B$ a une dimension mondiale $2$. Si$B$ si elle était auto-injective, elle aurait une dimension mondiale soit $0$ ou alors $\infty$.
Je crois avoir un contre-exemple plus simple, que j'ai appris du cours de Paul Balmer sur la géométrie tenseur-triangulaire au printemps dernier:
Revendiquer la catégorie de flèche$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ d'une catégorie triangulée $\mathcal{T}$ n'a jamais de structure triangulée à moins que$\mathcal{T} = 0$. En fait, nous n'avons même pas besoin$\mathcal{T}$ à trianguler ici: si $\mathcal{T}$ est une catégorie d'additifs telle que $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ est triangulé, alors $\mathcal{T} = 0$.
Preuve: Supposons$\mathcal{T}$ est une catégorie additive telle que $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$est triangulé. Laisser$a$ être un objet arbitraire dans $\mathcal{T}$, avec morphisme identitaire $1_a : a \to a$. Laisser$t$ dénotent le morphisme unique $a \to 0$. Puis$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} définit un morphisme$\alpha : 1_a \to t$ dans $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. Noter que$\alpha$est un épimorphisme. Dans toute catégorie triangulée, tous les épimorphismes sont divisés, alors laissez$\beta : t \to 1_a$ être une division de $\alpha$ (C'est, $\alpha \circ \beta$ est le morphisme identitaire de $t$). Puis$\beta$est un diagramme commutatif \ begin {CD} a @> t >> 0 \\ @V f VV @VVs V \\ a @ >> 1_a> a \ end {CD} tel que$1_a \circ f = 1_a$ (et $t \circ s = 1_0$). De ceci et de la commutativité du diagramme, nous voyons que$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ facteurs à travers $0$. Ainsi,$a = 0$. Depuis$a$ était arbitraire, $\mathcal{T} = 0$.
Edit: Bien sûr, nous pourrions rendre la déclaration encore plus faible: nous n'en avions vraiment besoin que $\mathcal{T}$a un objet nul. Mais si$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ est triangulé, alors $\mathcal{T}$ doit être additive, car elle s'intègre en tant que sous-catégorie additive de $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ passant par $a \mapsto 1_a$.