Les contraintes sous lesquelles$\rho(x, y) = |x - y|^d$satisfait l'inégalité triangulaire

Question

Est-il possible de prouver par des moyens purement algébriques (sans recourir d'emblée à des contre-exemples) que$\rho(x, y) = |x - y|^d$ne satisfait pas l'inégalité triangulaire$\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$pour$d = 2$? Et sous quelles contraintes$x, y, z$satisfait-il l'inégalité ? j'essaie de voir pourquoi$\rho$ne peut pas être une statistique valide sur$\mathbb R$.

Question bonus : pour quelles autres valeurs$d \in \mathbb R$Est-ce que$\rho$ne satisfait pas l'inégalité triangulaire.

Answer 1

L'inégalité est équivalente à$(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$pour$a, b \geq 0$. En mettant$a=b=1$on voit ça$2^{d} \leq 2$. Ainsi$d \leq 1$est une condition nécessaire. Pour toute$d \in (0,1]$l'inégalité est valide. Ceci peut être prouvé en observant que$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$est fonction décroissante de$a$et disparaît quand$a=0$.

Lorsque$d<0$,$|x-y|^{d}$n'est même pas défini quand$x=y$il ne donne donc pas de métrique.$d=0$vous est laissé.