Limitation d'un polynôme par une somme avec certaines propriétés

Question

Définir$f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$par$f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.

Question : Existe-t-il des fonctions continues$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, satisfaisant

1. $g(x,y)=0$si et seulement si$xy=1$.
2. $h(x,y)=0$si et seulement si$x=y$.
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.

Commentaire : La motivation vient du cas où$x,y$sont interprétés comme des valeurs singulières d'un$2 \times 2$matrice. Alors$f(x,y)$est la distance de la matrice à$\operatorname{SO}(2)$.$g$et$h$sont interprétés comme des mesures de l'écart de la matrice par rapport à la préservation de la zone et à la conformité, respectivement.

Answer 1

Laisser$z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. Alors$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.

Maintenant, réglez$G(z) = z^2 - 2i$. Alors$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.

Calculer$\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$Et ainsi$$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$si et seulement si$\Re z + \Im z \ge 0$, ce qui est certainement vrai si$x \ge 0, \, y \ge 0$.

Vous avez donc maintenant pour$x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$et vous pouvez lire$g$et$h$.