limite de $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Aug 20 2020

Question: Limite de$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Les premières choses que je remarque sont: $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ et la limite ressemble à quelque chose de la forme $(1 + \frac{1}{x})^x$. Malheureusement, je n'arrive pas à appliquer ces idées pour résoudre les limites. Je ne sais pas si c'est vrai:

$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$

Appliquer la règle de l'hôpital ...?

Quelqu'un pourrait-il confirmer que cette approche est correcte, ou si elle est erronée, fournir une approche correcte?

Réponses

2 user Aug 20 2020 at 04:19

Depuis $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ on peut utiliser ça

$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$

puis reportez-vous aux limites standard.

Ou comme alternative, en suivant votre idée

$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$

puis conclure à nouveau par des limites standard.

2 ClaudeLeibovici Aug 20 2020 at 14:31

$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$

$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$

Par Taylor $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$

Éditer

Considérer $x=\frac {11}{24}\pi$ (c'est assez loin de $\infty$) pour laquelle l'arc tangente est $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$.

la valeur exacte est $1.97993$ tandis que cette expression tronquée donne $1.99516$.

En fait, l'erreur relative est inférieure à $0.01$% si $x\geq3$