Montre CA $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ a une solution unique sur $\mathbb{R}$
Montre CA $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ a une solution unique sur $\mathbb{R}$.
Ceci est une retombée de l'un des problèmes de Berkeley Problems in Mathematics.
Ma solution (tentative) est beaucoup plus courte que celle présentée par les auteurs (ils montrent qu'une solution unique existe sur un voisinage de $(0,54)$ en utilisant une version locale du théorème de Picard puis utiliser IFT pour trouver une solution explicite sur ce voisinage et prouver que cette solution est valide sur $\mathbb{R}$) alors je voulais vérifier que je n'avais rien manqué.
Voici ma solution:
Laisser $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Réparer$h >0$. Par les propriétés de base des fonctions continues$f$ est continu sur $[-h,h] \times \mathbb{R}$ et de plus Lipschitz dans $y$sur cette bande. Cela découle de,
$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ et le MVT.
Le théorème de Picard s'applique et on voit que l'IVP a une solution unique sur $[-h,h]$.
Mais $h$ était arbitraire, donc l'IVP a une solution sur tous les $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
Est-ce correct? En général, je ne suis pas sûr de savoir comment prouver l'unicité / l'existence de solutions globales ... suite analytique ou Picard global?!
Notez que la version du théorème de Picard que j'utilise est
L'IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, a une solution unique sur $\mathbb{R}$ à condition de, $\forall h:$
$f$ est continu sur $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$
$f$ Lipschitz est-il en y on $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.
Réponses
Votre idée est correcte. Avec un côté droit sous-linéaire, vous obtenez une solution globale. L'idée de preuve est explorée par exemple dans
- Existence d'une solution au premier ordre ODE. Qu'y a-t-il à prouver?
- Inégalité dans la preuve de la solution unique d'un ODE
Le problème avec votre source est peut-être qu'ils n'ont pas fait l'effort de prouver cette version plus globale du théorème après la version localisée standard. Ainsi, ils doivent assembler la solution à partir de nombreuses solutions locales.
Notez qu'avec la formulation de votre condition, vous n'obtenez une solution que sur $[a-h,a+h]$, ce qui ne devrait pas être une surprise car c'est le domaine exploré de l'ODE.