Montrer que la projection orthogonale est diagonalisable

Question

Laisser $S \subset V$ être un sous-espace de l'espace vectoriel de dimension finie $V$. Montrez que la projection orthogonale$P_S:V \to S$est diagonalisable. Je ne sais pas par où commencer cette question. Quelqu'un peut-il m'aider à commencer par un indice?

Answer 1

Laisser $u_1,\ldots,u_d$ être une base orthonormée de $V$ pour que le premier $k$ les vecteurs de base se trouvent dans le sous-espace $S$. ensuite$P_S(u_j)=u_j$ pour $j\le k$. Également,$P_S(u_j) = 0\cdot u_j$ pour $j > k$.

Plus de détails: une transformation linéaire$T:V\rightarrow V$ est diagonalisable s'il existe une base de $V$constitué de vecteurs propres de la transformation. Une projection orthogonale$P_S$ agit comme l'identité sur le sous-espace $S$ et mappe tout élément de $S^\perp$ (les vecteurs orthogonaux à $S$) à $0$. $P_S$ est défini par $P_S^2=P_S$ et $P_S^*=P_S$. L'image de la projection orthogonale$P_S$ sera $S\subset V$ et le noyau sera $S^{\perp}$.

Parce que nous savons que $\dim(S)+\dim(S^{\perp}) = \dim(V)$, et nous savons que $P_{S}$ agit comme identité sur $S$ et agit comme $0$ sur $S^{\perp}$, on peut diagonaliser $P_{S}$ par n'importe quelle base $u_1,\ldots, u_d$ avec le premier $\dim(S)$ éléments dans $S$ et le dernier $\dim(S^{\perp})$ éléments dans $S^{\perp}$. Une telle base existe toujours, par exemple en étendant une base de$S$ à une base de $V$, puis appliquant le processus de Gram Schmidt.

Notez que $P_S$ est en fait diagonalisable unitairement / orthogonalement, puisque nous pouvons la diagonaliser avec une base orthogonale.

Answer 2

La condition d'orthogonalité est redondante. Chaque projection sur$V$, orthogonale ou non, est diagonalisable.

Apporach 1: le polynôme minimal de $P$ doit diviser $x(x-1)$.

Approche 2: comme $P$ est une projection, nous avons $V=PV\oplus\ker(P)$ et vous pouvez construire une base propre de $P$.