Montrez que l'ensemble de puissance est un ensemble.

Aug 20 2020

Je suis tombé sur la proposition suivante que l'auteur veut que le lecteur prouve:

Proposition 1 . Pour un ensemble arbitraire$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ est un ensemble.

Ma tentative (principalement basée sur les indices donnés par l'auteur):

Je vais d'abord énoncer l'axiome de puissance présenté dans le livre (qui semble être différent de ce qui est écrit dans l' article de wikipedia ):

Axiome de puissance . Laisser$X$ et $Y$être des ensembles. Alors il existe un ensemble, noté$Y^{X}$ , qui comprend toutes les fonctions de $X$ à $Y$ , Donc

$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $X$ and range Y)}$$

En utilisant l'axiome de l'ensemble de puissance et l'axiome de remplacement, nous pouvons construire l'ensemble suivant

$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$

Maintenant, nous devons montrer que pour arbitraire $A \in S$, $A \in S$ iff $A \subseteq X$

$(\rightarrow)$ Prends en $A \in S$ et en prendre $a \in A$. Depuis$A \in S$, existe certains $f: X \rightarrow Y$ tel que $f^{-1}(\{1\}) = A$. Par définition de l'image arrière, on peut conclure que$a$ est du domaine de $f$, C'est $a \in X$.

$(\leftarrow)$ Prendre un sous-ensemble arbitraire de $X$, dire $A$. Nous pouvons définir$f: X \rightarrow Y$ tel que $f(x) = 1$ iff $x \in A$, et $f(x) = 0$autrement. On voit ça$f \in \{0,1\}^{X}$ et c'est vrai que $A = f^{-1}(\{1\})$. Par conséquent$A \in S$.

Par conséquent $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, ce qui signifie que $\{A \mid A \subseteq X\}$ est un ensemble.

$\blacksquare$


Question 1.

Est-ce correct?

Question 2.

Si la preuve ci-dessus est correcte, existe-t-il des alternatives plus concises? Avant de voir les indices de l'auteur (c'est-à-dire que nous devons utiliser l'axiome des ensembles de puissance et l'axiome de remplacement), je pensais que l'argument suivant serait suffisant: «L'ensemble est une collection d'objets. Le sous-ensemble est un objet. Par conséquent, une collection de sous-ensembles de un ensemble particulier est un ensemble. "

Réponses

2 Rick Aug 28 2020 at 20:44

Cette preuve me va bien. Juste quelques commentaires à ce sujet:

  1. À moins que cela n'ait déjà été prouvé ailleurs dans le livre que vous lisez, j'ajouterais une justification pour expliquer pourquoi les éléments de $S$ sont des ensembles, donc quelque chose comme $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ est un ensemble pour chaque $f \in \{0,1 \}^X$ par l'axiome de séparation.
  2. dans le $(\to)$ direction, vous devez considérer deux cas, à savoir $A = \varnothing$ et $A \neq \varnothing$. Si$A = \varnothing$, puis trivialement $A \subseteq X$; sinon il y a$a \in A$ (comme vous le dites), et le reste de la preuve suit.

Comme indiqué dans les commentaires, l'intérêt d'utiliser un tel formalisme pour prouver que pour tout ensemble $A$, $\mathcal P(A)$est aussi un ensemble (au lieu d'argumenter comme vous le pensiez d'abord), vient de mathématiciens essayant d'éviter de se mettre dans une position où certaines collections d'ensembles sont si "grandes" que des contradictions surgissent au sein de votre système d'axiomes, comme celles illustrées dans Cantor et Les paradoxes de Burali-Forti .