Multiplicité des conjugués complexes de valeurs propres complexes répétées

Question

Je sais que pour une matrice à valeur réelle, les valeurs propres complexes se présentent sous forme de paires conjuguées complexes. Cependant, je me demande ce qui se passe pour les valeurs propres complexes répétées (c'est-à-dire les valeurs propres complexes avec une multiplicité supérieure à 1). Dans ce cas, le conjugué complexe de la valeur propre complexe répétée a-t-il la même multiplicité que cette valeur propre? Si cette affirmation tient, comment pouvons-nous montrer que c'est vrai?

Answer 1

On trouve en effet que si une vraie matrice $A$ a une valeur propre complexe $\lambda$, puis la valeur propre conjuguée $\bar \lambda$a la même multiplicité algébrique et géométrique. En fait, on peut en dire un peu plus:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$c'est-à-dire que toutes les structures associées aux valeurs propres sont les mêmes. Autrement dit, la forme Jordan de$A$ a le même nombre et la même taille de blocs pour $\lambda$ et $\bar \lambda$.

En ce qui concerne la preuve des multiplicités, nous avons ce qui suit: la multiplicité algébrique est la multiplicité de la racine $\lambda$ dans le polynôme caractéristique $p(x) = \det(xI - A)$. Comme pour tout polynôme à coefficients réels, la multiplicité de la racine$\lambda$ est-ce la même chose que la multiplicité de la racine $\bar \lambda$.

Pour la multiplicité géométrique, une approche est la suivante: on note que les matrices satisfont $\overline{A B} = \bar A \bar B$. Il s'ensuit que si$v$ est un vecteur propre (complexe) associé à une valeur propre $\lambda$, ensuite nous avons $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ En d'autres termes, la carte $v \mapsto \bar v$ est un inversible $\Bbb R$-Carte linéaire entre les espaces propres de $A$ associé à $\lambda$ et $\bar \lambda$. Il s'ensuit que ces espaces ont la même dimension.