Multiplicites de racines de $x^{p^k}-x$ ( $p$ est premier) dans $L[x]$ avec $L$ comme une extension de $Z_p$

Aug 20 2020

Ce qui suit est de A. Białynicki-Birula, "Algèbre" (la traduction est la mienne).

(Chapitre VI, \ $ 6).

Exemple 1. Soit $ K $ un champ et soit $ b \ dans K, b \ neq 0 $ . Considérons le polynôme $ x ^ n - b $ . Nous prouverons que si $ \ chi (K) = 0 $ , alors chaque racine de ce polynôme a une multiplicité égale à 1, et si $ \ chi (K) = p \ neq 0 $ , alors chaque racine de ce polynôme a une multiplicité égal à $ p ^ m $ , où $ p ^ m $ est la plus grande puissance de $ p $ telle que $ p ^ m \ mid n $ .

Remarque: Dans le texte ci-dessous, l'auteur a en effet écrit "voir chapitre IV, $ 6, exemple 1". C'est clairement une erreur car il n'y a pas d'exemple et ce chapitre est "Dimension" (de l'espace linéaire). Pour cette raison, je suppose qu'il a voulu se référer à ce que j'ai cité ci-dessus.

(Chapitre X. Eléments algébriques; \ $ 4. Le domaine de la factorisation polynomiale)

Théorème 4.1. Pour chaque champ $ K $ et pour tout polynôme $ f \ dans K [x] $ de degré supérieur à 0, il existe une extension $ L $ du champ $ K $ que le polynôme $ f $ a une factorisation en facteurs linéaires dans le anneau $ L [x] $ .

Exemple 1. Soit $ p $ un nombre premier et $ k $ un nombre naturel. Le théorème 4.1 implique qu'il existe une extension $ L $ du champ $ Z_p $ telle que le polynôme $ x ^ {p ^ k} - x $ a une factorisation en facteurs linéaires dans l'anneau $ L [x] $ . Ainsi dans l'anneau $ L [x] $ nous avons $$ x ^ {p ^ k} -x = (x-e_1) (x-e_2) ... (x-e_q), \ \ \ \ \ \ \ q = p ^ k. $$ Pour deux éléments $ e_i $ , $ e_j $ tels que $ i \ neq j $ la condition $ e_i \ neq e_j $ est vérifiée et chaque racine du polynôme $ x ^ {p ^ k} - x $ dans le champ $ L $ est égal à $ e_k $ pour certains $ k = 1, ..., q $ (voir chapitre IV, $ 6, exemple 1). (...)

Comment l'énoncé du premier exemple nous permet-il de conclure que pour chaque $i, j$ le fait $i \neq j$ implique que $e_i \neq e_j$? J'ai essayé de le prouver de plusieurs manières mais sans succès. J'ai essayé d'établir que$x^n - b$ d'une certaine manière rassemble toutes les racines afin $x^{p^k} - x$ "en a exactement un à sa disposition" ($p^m \cdot 1 = p^m$), utilisez des pouvoirs pour obtenir $p^m$ mêmes facteurs dans la factorisation de $x^{p^k}-x$ et ainsi de suite mais je ne peux pas établir une relation (suffisante) entre $x^{p^k} - x$ et $x^n - b$dans ce cas.
Tout ce que j'ai obtenu est que:

  1. chaque racine $a$ de $x^{p^k} - x$ est une racine de $x^{p^k} - a$,
  2. si $a$ est une racine de $x^{p^k} - x$, alors ce polynôme ne peut pas être pris en compte dans $(x-a)^{p^k}$ comme polynômes $x^{p^k} - x$ et $x^{p^k}-a$sont différents. De quelques recherches sur Internet, j'ai vu que les preuves du fait concerné utilisent généralement des dérivés, mais j'ai lu presque tout le livre et je suis presque sûr qu'il ne l'utilise pas.

Réponses

1 Cardioid_Ass_22 Aug 21 2020 at 01:54

Remarque: j'ai supprimé ma réponse initiale, car il semble que j'ai mal compris la question lorsque j'ai écrit cela.

Si on a déjà donné le résultat dans l'exemple $1$ du chapitre $6$, puis l'instruction dans l'exemple $1$ suivant le théorème $4.1$ est assez facile à prouver.

L'idée est essentiellement juste de prendre en compte $f(x)=x^{p^k}-x$ comme $x(x^{p^k-1}-1)$. Clairement$0$ n'est pas une racine de $x^{p^k}-1$, alors $0$ n'est pas une racine répétée de $f(x)$. Cela signifie exactement l'un des$e_i$s, dis $e_1$ WLOG, c'est $0$. Cela nous donne$x^{p^k-1}-1=(x-e_2)(x-e_3)\dots(x-e_q)$, il suffit donc de montrer que $x^{p^k-1}-1$n'a pas de racines répétées. Mais c'est trivial, car la plus haute puissance de$p$ partage $p^k-1$ est évidemment $p^0=1$, donc par chapitre $6$, Exemple $1$, toutes les racines de $x^{p^k}-1$ avoir la multiplicité $1$ (rappelez-vous que nous travaillons dans une extension de $\mathbb Z_p$), c'est-à-dire tous $e_2,e_3,\dots,e_q$sont distincts. Il s'ensuit que tout$e_i$s sont distincts, comme souhaité.

Encore une fois, excuses pour la réponse compliquée initiale et toute confusion qu'elle a causée. Le matériel là-bas était largement hors de propos.