Norme idéale dans les commandes

Aug 16 2020

Laisser $\overline{T}$ être un anneau de Dedekind tel que $\overline{T}/\overline{I}$ est fini pour chaque idéal différent de zéro $\overline{I}$ de $\overline{T}$. Laisser$T$ être un sous-groupe de $\overline{T}$ avec le même anneau total de fractions (c'est-à-dire un ordre).

Laisser $I$ être un idéal de $T$ et laissez $\overline{I} = I\overline{T}$. La norme $N_T(I)$ de $I$ est défini comme étant la cardinalité de $T/I$.

Question: Existe - t-il une formule relative$N_T(I)$ et $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?

Par exemple, il semble plausible que l'écart soit mesuré par un groupe «tor».

Remarques:

Si $I$ est projectif alors $N_T(I)$ et $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sont égaux.
La localisation réduit le problème au cas où $T$ est local (et $\overline{T}$ est semi-local), et les deux $I$ et le conducteur de $T$ sont de vrais idéaux.
(Merci à Luc Guyot) Si $T$est un anneau de basse ($\leftrightarrow$ chaque anneau intermédiaire $T \subset R \subset \overline{T}$ est Gorenstein $\leftrightarrow$ chaque idéal est généré par deux éléments), et $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, puis par [2, proposition 5.8] $I$est projectif. Il s'ensuit que$N_T(I)$ et $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sont égaux (par la première remarque).
(généralisation de la troisième remarque) si $T$est un domaine intégral de Gorenstein et$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, puis $I$est projectif. Cela découle de la combinaison du théorème 6.2 (4) avec la proposition 7.2 de [1]. Il s'ensuit que$N_T(I)$ et $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sont égaux (par la première remarque).

[1] H. Bass, "Sur l'ubiquité des anneaux de Gorenstein", 1963.

[2] L. Levy et R. Wiegand, "Dedekind-like behavior of rings with 2-generated idéals", 1985.

Réponses

4 LucGuyot Aug 18 2020 at 07:46

Je commencerai par une remarque générale qui sera illustrée par un calcul dans un ordre arbitraire de champ de nombres quadratiques.

Si $\overline{I}$ contrats à $I$, c'est-à-dire si $\overline{I} \cap R = I$, puis l'inclusion $R \rightarrow \overline{R}$ induit une injection $R$-homomorphisme du module $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. Par conséquent,$N_R(I)$ se divise $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ et en particulier nous avons $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. Si par exemple$I$ est un idéal primordial, alors $N_R(I)$ se divise $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.

La question sous-jacente à laquelle je ne réponds pas est:

Question. Est-ce toujours vrai que$N_R(I)$ se divise $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, ou du moins que $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?

Éditer. La réponse OP contient une preuve que$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ est vrai pour tout idéal non nul de $R$.

Je n'aborderai pas la question ci-dessus. Au lieu de cela, je vais introduire une condition sur$R$ sous lequel $N_R(I)$ se divise $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ pour chaque idéal non nul $I$ de $R$.

Proposition. Si un idéal non nul$I$ de $R$ est projectif sur son anneau de multiplicateurs $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, ensuite nous avons $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$

Note latérale. cette$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ où $K$ désigne le champ des fractions de $R$, puisque $R$ est Noetherian.

Lemme 1 (affirmation d'OP) . Si$I$ est un idéal inversible de $R$ puis $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.

Preuve. Tout d'abord, prouvez l'énoncé pour un idéal principal non nul$I$. Puis décomposez le$R$-module de longueur finie $\overline{R}/\overline{I}$ comme somme directe de ses localisations par rapport aux idéaux maximaux de $R$[4, Théorème 2.13]. Faites de même pour$R/I$ et comparez les cardinalités des sommets.

Preuve de la proposition. Par le lemme 1, nous avons$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. Par conséquent$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.

Notez que si $R$ est un ordre dont les idéaux sont générés par deux (par exemple, un ordre dans un champ quadratique ou un ordre dont le discriminant est libre de quatrième puissance [2, théorème 3.6]), puis tout idéal non nul $R$satisfait l'hypothèse de la proposition ci-dessus, voir par exemple [1], [2] et le théorème 4.1, corollaires 4.3 et 4.4 des notes de Keith Conrad . Le PO discute des résultats similaires dans ses remarques et sa réponse.

Laisser $m$être un entier rationnel sans carré. Nous fixons$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ et dénoté par $\mathcal{O}(K)$ l'anneau des nombres entiers du champ quadratique $K$.

Réclamation en vrac. Donné une commande$R$ de $K$ et un idéal $I \subseteq R$, nous calculerons $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ en tant que fonction de $N_R(I)$ et d'une forme quadratique binaire associée à $I$.

Pour ce faire, nous introduisons quelques notations et définitions.

Réglage $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ nous avons $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ et tout ordre de $K$ est de la forme $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ pour un entier rationnel $f > 0$[2, Lemme 6.1]. De plus, l'inclusion$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ est vrai si et seulement si $f'$ se divise $f$. Si$I$ est un idéal de $\mathcal{O}_f(K)$, puis son anneau de multiplicateurs $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ est la plus petite commande $\mathcal{O}$ de $K$ tel que $I$ est projective, inversement équivalente, en tant qu'idéal de $\mathcal{O}$[2, proposition 5.8]. Laissez-nous réparer$f > 0$ Et mettre $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$

Un idéal $I$ de $R$est dit primitif s'il ne peut pas s'écrire$I = eJ$ un entier rationnel $e$ et certains idéaux $J$ de $R$.

L'outil principal est le lemme de base standard [5, lemme 6.2 et sa démonstration].

Lemme 2. Soit$I$ être un idéal non nul de $R$. Alors il existe des entiers rationnels$a, e > 0$ et $d \ge 0$ tel que $-a/2 \le d < a/2$, $e$ divise les deux $a$ et $d$ et nous avons $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ Les entiers $a, d$ et $e$ sont uniquement déterminés par $I$. Nous avons$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ et l'entier $ae$ est égal à la norme $N_R(I) = \vert R /I \vert$ de $I$. L'idéal$I$ est primitif si et seulement si $e = 1$.

Notez que, depuis $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$, l'entier rationnel $a$ se divise $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. Nous appelons les paires génératrices$(a, d + ef \omega)$la base standard de$I$. Associons-nous à$I$ la forme quadratique binaire $q_I$ Défini par $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$

Ensuite nous avons $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ avec $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$Nous définissons le contenu$c(q_I)$ de $q_I$ comme le plus grand diviseur commun de ses coefficients, c'est-à-dire $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$

Remarque. Nous avons$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ où $f'$ est le diviseur de $f$ tel que $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.

Prétendre. Laisser$I$ être un idéal non nul de $R$. Ensuite nous avons$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$

Preuve. Puisque$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ et $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ pour chaque $x \in R \setminus \{0\}$, on peut supposer, sans perte de généralité, que $I$ est primitif, c'est-à-dire $e = 1$. Il découle immédiatement des définitions que$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ où
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$Il suffit maintenant de calculer la forme normale de Smith $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ de la matrice $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ où $(v_1, v_2)$ est la matrice de $v$ en ce qui concerne le $\mathbb{Z}$-base $(1, \omega)$ de $\overline{R}$. Le coefficient$d_1$ est le plus grand diviseur commun des coefficients de $A$ et on le voit facilement $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. Le coefficient$d_2$ est le plus grand diviseur commun de la $2 \times 2$ mineurs de $A$ divisé par $d_1$ et on le voit facilement $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. Donc$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ a la forme souhaitée.

[1] J. Sally et W. Vasconcelos, "Anneaux stables", 1974.
[2] C. Greither, "Sur le problème des deux générateurs pour les idéaux de l'anneau unidimensionnel", 1982.
[3] L. Levy et R. Wiegand, "Comportement de type Dedekind des anneaux avec$2$-generated ideals ", 1985.
[4] D. Eisenbud," Commutative algreba with a view vers algebraic geometry ", 1995.
[5] T. Ibukiyama et M. Kaneko," Quadratic Forms and Ideal Theory of Quadratic Fields ", 2014 .

2 AWO Aug 21 2020 at 05:32

J'enregistre pour le bénéfice des autres ce qui est à ma connaissance toute l'étendue de ce que l'on sait sur le problème général. Luc Guyot a apporté une réponse gentille et explicite au cas des ordres quadratiques.

Je ne marque pas ce message comme "la réponse" car la question d'origine n'a pas encore reçu de réponse.

Que l' écart d'un$T$-idéal $I$ être défini comme $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (définition non standard).

Quand est-ce $ds(I) = 1$?

Le théorème suivant est l'outil principal de l'article [1]. L'instruction utilise la notation d'index de module de [2].

Théorème [1; Théorème 1]:

$[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
$[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
$[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.

De plus, les éléments suivants sont équivalents:

Toute relation de sous-ensemble parmi (1), (2), (3) est une égalité.
Toutes les relations de sous-ensemble parmi (1), (2), (3) sont une égalité.
$I$ est inversible.

Ce théorème a les corollaires suivants pour la "discordance". Rappelons que l' autre de$T$ est défini comme étant $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ où $T^\vee$ est le double de $T$ pour le formulaire de trace.

Corollaire :$ds(I) \geq 1$ avec égalité si et seulement si $I$ est inversible.

Corollaire : Les éléments suivants sont équivalents:

L'écart de $\mathfrak D_{T}$ est $1$.
Pour chaque idéal $I$ de $T$, $ds(I) = 1$ si et seulement si $T = (I:I)$.
$T$ est Gorenstein.

Tout dans ces corollaires découle immédiatement du théorème sauf le second point du second corollaire qui découle de l'équivalence bien connue $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ quand $T$ est Gorenstein (cf. eg [3; Proposition 5.8] ou [4; Proposition 2.7]).

Cas quadratique

[Suite à la notation de la réponse de Luc Guyot]

En utilisant les corollaires ci-dessus, nous revisitons le cas quadratique. L'écart est invariant sous les homothéties et nous pouvons donc supposer l'idéal$I$ est primitif ($e = 1$). Par [5; Lemme 6.5], l'idéal$I$ satisfait $R = (I:I)$ si et seulement si $\gcd(a,b,c) = 1$. En effet, la formule de la divergence dans la réponse de Luc Guyot est précisément$\gcd(a,b,c)$. (Par la remarque de la réponse de Luc Guyot, on a même$ds(I) = f/f'$ où $f$ est le conducteur de $T$ et $f'$ est le conducteur de $(I:I)$.) Ainsi la formule $ds(I) = c(q_I)$ est cohérent avec le deuxième corollaire.

Limite supérieure

Nous dériverons une borne supérieure pour $ds(I)$ qui est indépendant de $I$. Je suppose que$T$est un domaine de la simplicité. On peut supposer que$T \neq \overline{T}$ Et mettre $S = \overline{T}$. Laisser$\mathfrak f$ désignent le conducteur de $T$.

Limite supérieure : pour tout idéal T-fractionnaire$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$

Deux $T$- les idéaux fractionnaires sont du même genre s'ils sont localement isomorphes; de manière équivalente, il existe un T-idéal inversible qui multiplie un idéal dans l'autre.

Réclamation : tout$T$-idéal fractionnaire $I$ est dans le même genre qu'un $T$-idéal fractionnaire $J$ tel que $\mathfrak f \subset J \subset S.$

Preuve: Let $P$ être un idéal principal de $T$ et laissez $S_P$ dénotent la fermeture intégrale de $T$(la fermeture intégrale fait la navette avec la localisation). Il suffit de construire un$T_P$-idéal fractionnaire isomorphe à $I_P$ tel que $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ où l'indice dénote le tenseur avec $T_P$. $S_P$est un produit fini d'anneaux Dedekind locaux, c'est donc un PID. Par conséquent$I_PS_P = \alpha S_P$ pour certains $\alpha$ dans $Quot(T)$. Laisser$J_P = \alpha^{-1}I_P$. ensuite$J_P \subset S_P$, mais aussi $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$

Réclamation : la divergence$ds(I)$ est constante sur les genres.

Preuve: Ceci est prouvé en localisant et en utilisant qu'un idéal inversible de $T$ est localement principal (ce dernier fait découle de [5; Proposition 2.3]).

En mettant ces revendications ensemble, nous avons cela pour $I$ tout $T$-idéal fractionnaire, $ds(I) = ds(J)$ pour certains $T$-idéal fractionnaire $J$ tel que $\mathfrak f \subset J \subset S$. À partir de 1; Théorème 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. Nous avons aussi$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, et donc $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. Écrire$M' = M/\mathfrak f$ pour tout module contenant $\mathfrak f$. Rassembler les inégalités que nous avons

$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$

Le dernier terme est délimité d'en haut par $|S/T| |S/\mathfrak f|$.

Conclusion

La fonction de discordance satisfait l'inégalité, $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, pour toute $T$-idéal fractionnaire $I$, et admet une formule explicite et naturelle en termes de conducteurs dans le cas quadratique. Cependant, il semble inconnu si la fonction de discordance peut recevoir une "forme fermée" en général (par exemple, une expression en termes de conducteur de$T$, les différents ou discriminants de $T$ et $\overline{T}$, Ext ou Tor groupes sur $T$ ou $\overline{T}$).