Norme sur la somme des espaces fonctionnels
Quelle est la convention pour la norme dotée sur une somme d'espaces$X+Y$, ainsi que sur l'intersection des espaces$X\cap Y$?
Je lis un article où les auteurs utilisent une somme d'espaces fonctionnels sans écrire explicitement la norme, et ils ne font aucun autre commentaire.
Je pense que peut-être la norme la plus plausible pour$X\cap Y$est$\|f\|_X +\|f\|_Y$avec la norme pour$X+Y$étant alors$\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.
Toutes mes excuses si cette question est un doublon, auquel cas je serai heureux de la supprimer. Je n'ai pas trouvé de question similaire sur math stackexchange.
Réponses
https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space
Suppose que$X$et$Y$intégrer en continu dans un espace vectoriel topologique de Hausdorff$Z$(pour que$X\cap Y$et$X + Y$avoir du sens). Les normes habituellement utilisées sont :$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$La norme pour$X \cap Y$est logique et équivaut à la norme que vous avez suggérée. Pour$X+Y$, le minimum des deux normes n'est malheureusement pas une norme.
Au lieu de cela, pensez à l'espace$X \oplus Y$avec la norme$\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Regardez le sous-espace$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. Alors$X + Y$est isomorphe à l'espace quotient$(X \oplus Y) / U$. Ceci fournit une preuve rapide que$X + Y$équipé de la norme ci-dessus est bien un espace de Banach.