Opérateurs de création et d'annihilation dans QFT
Comme je l'ai déjà dit, je ne suis pas un expert QFT mais j'essaie de comprendre les bases de sa formulation rigoureuse.
Prenons le livre de Dimock , où les fondements de QM et QFT sont discutés. Si nous considérons, disons, deux particules, l'une vivant dans un espace de Hilbert$\mathcal{H}_{1}$ et l'autre dans un autre espace Hilbert $\mathcal{H}_{2}$, la description de l'état du système à deux particules est donnée en termes de produit tensoriel $\mathcal{H}^{(2)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \mathcal{H}_{2}$. Bien sûr, nous pourrions aller plus loin et étudier un système$\mathcal{H}^{(N)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_{n}$. Si toutes les particules sont identiques, alors$\mathcal{H}_{1}=\cdots = \mathcal{H}_{n} \equiv \mathcal{H}$ et nous devons prendre en compte les sous-espaces symétriques et antisymétriques de $\mathcal{H}^{(N)}$, qui correspondent au fait que les particules peuvent être respectivement des bosons ou des fermions. A ce stade, on définit les opérateurs de symétrisation et d'anti-symétrisation. L'étape suivante consiste à considérer un système d'un nombre arbitraire de particules. A ce stade, on définit les espaces Fock$\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$pour les bosons et fermions. Aussi, on définit des opérateurs de création et d'annihilation$a(h)$ et $a^{\dagger}(h)$ sur $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H})$.
Maintenant, pour autant que je sache, tout cela est de la mécanique quantique , pas du QFT. Cependant, ces idées semblent trouver des analogues dans QFT, et c'est le point où je suis confus.
Dans la section I.5 du livre de Feldman, Trubowitz et Knörrer, il y a une brève discussion sur le QFT (fermionique) et il est indiqué que, dans ce contexte, les opérateurs de création et d'annihilation sont des familles spéciales.$\{\varphi^{\dagger}(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ et $\{\varphi(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ sur un espace Hilbert $\mathcal{H}$. Ceci est très différent des opérateurs de création et d'annihilation mentionnés ci-dessus. Par exemple, il s'agit désormais de familles d'opérateurs indexées par$x$ et $\sigma$. Je pense que cela reflète le fait que nous sommes passés de QM à QFT. Mais je suis vraiment perdu ici et je ne sais pas quelle est la différence entre ces deux constructions et définitions. Quelqu'un peut-il m'aider s'il-vous-plaît? Je suis principalement intéressé par la compréhension de la deuxième approche, depuis la première je crois comprendre (au moins suffisamment bien). Si, en plus, vous pouviez suggérer des références où ces idées de Feldman, Trubowitz et Knörrer sont discutées plus en détail et avec rigueur, j'apprécierais!
ADD: Sur la base du livre de Feldman, Trubowitz et Knörrer, il me semble que la compréhension de ces objets (pour être plus précis, les objets qu'ils décrivent brièvement dans les 2 premières pages de la section I.5) est fondamentale pour comprendre la formulation de un tas de modèles QFT (au moins pour les fermions). Ainsi, j'apprécierais que quelqu'un puisse élaborer un peu plus sur la structure derrière ces opérateurs de création et d'annihilation et ses connexions au cas quantique qui est nécessaire pour comprendre le reste de la discussion sur le livre de FTK. En d'autres termes, je pense que j'ai juste besoin de mieux comprendre ces premières définitions (et comment sont-elles liées au cas quantique habituel que je (semble) connaître) pour être en mesure de comprendre le reste du texte.
Réponses
La connexion peut être vue en prenant $H = L^2(\mathbb{R}^3)$dans la première explication. C'est l'espace de Hilbert d'une particule tridimensionnelle non relativiste, sans spin. En additionnant directement les puissances tensorielles symétriques (antisymétriques) de$H$nous obtenons l'espace de Hilbert d'un ensemble de particules tridimensionnelles bosoniques (fermioniques) non interactives, sans spin, appelées espace de Fock. le$n$La puissance tenseur représente les états dans lesquels $n$ des particules sont présentes.
Maintenant, nous avons des opérateurs de "création" et "annihilation" qui prennent des états dans le $n$e puissance tenseur dans le $(n \pm 1)$puissance tensorielle st. Pour chaque état$h$ dans l'espace Hilbert d'origine $H$ il y a un opérateur de création qui tenseur avec $h$ et symétrises (antisymétries), en prenant le $n$e puissance tenseur dans le $(n+1)$st, et son adjoint qui va dans la direction opposée et supprime un facteur tenseur de $h$.
Dans la littérature de physique, on travaille généralement avec des opérateurs de création / annihilation idéalisés pour lesquels l'état $h$ est une fonction delta de Dirac fictive concentrée en un point de $\mathbb{R}^3$. C'est ce qui est décrit dans votre deuxième explication. Comme d'habitude en physique, l'espace de Hilbert n'est pas spécifié, mais dans le cas des champs libres, il correspond à l'espace de Fock dans la première explication.
L'espace de Fock est inadéquat pour modéliser les champs en interaction (en effet, ici, les problèmes mathématiques deviennent profonds et fondamentalement irrésolus). Cependant, ce n'est pas anodin; par exemple, on peut étudier les champs quantiques libres sur un fond de l' espace - temps courbe et Derive rayonnement Hawking, l'effet Unruh, etc. Théorie quantique champ en courbe Spacetime et Black Hole Thermodynamique par Wald est une excellente explication mathématique rigoureuse de ce paramètre.
En QFT, l'intuition est que l'on a un espace de Hilbert séparé à chaque point de l'espace, et que l'on prend leur produit tensoriel pour obtenir l'espace de Hilbert du champ entier. J'ai indiqué comment, intuitivement, l'espace de Fock modélise un "produit tensoriel mesurable" d'une famille d'oscillateurs harmoniques (cas bosonique) ou de systèmes à deux états (cas fermionique) indexés par tous les points de l'espace dans ma réponse ici . Voir la section 2.5 de mon livre Quantification mathématique pour une explication complète.
Avertissement: je ne suis pas un physicien mathématicien.
Même avec un espace de Hilbert, à savoir l' oscillateur harmonique quantique , vous pouvez définir des opérateurs de «création-annihilation», sauf que dans ce cas, ils augmentent ou réduisent simplement le niveau d'énergie du système de particules uniques.
Maintenant, vous considérez l'espace Fock $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$ comme vous le décrivez ci-dessus: il s'agit en fait d'un foncteur, d'où le tristement célèbre dicton selon lequel la deuxième quantification est un foncteur.
Là, vous définissez à nouveau les deux opérateurs, mais vous les réinterprétez comme des opérateurs d'échelle qui, à partir de l'état fondamental, créent et détruisent des particules. Formellement, ils se comportent beaucoup comme avec l'oscillateur harmonique jouet, et cette analogie est d'une grande portée:
fondamentalement cela vous dit que le champ quantique décrit par le foncteur Fock peut être "excité": les particules sont des excitations du vide (en fait il y a de belles images de champs quantiques comme des ensembles (infinis) d'oscillateurs harmoniques (couplés), voir ici ).
Qu'est-ce que cela a à voir avec la deuxième définition? Si le champ quantique crée et annihile des particules, il peut le faire à chaque point de votre espace ambiant . D'où les index ...