Orientation de fixation du collecteur lisse connecté dans $\mathbb{R}^n$ par un seul graphique
J'étudie à Zorich, Analyse mathématique II, 1ère éd. pag. 174-175. Après avoir bien expliqué comment les orientations (classes d'équivalence) sont définies pour les surfaces lisses à k dimensions dans$\mathbb {R} ^ n$ qui peut être décrite avec une seule carte, passez au cas plus général en définissant les significations de:
- graphiques cohérents,
- orienter les atlas,
- classes d'équivalence pour l'orientation des atlas (orientations possibles de la surface).
Ayant fait cela, il déclare sans preuve qu'une surface de dimensions k lisse connectée ne peut avoir que deux orientations possibles. De cette déclaration, il déduit immédiatement que pour fixer une orientation sur une surface de ce type, il n'est pas nécessaire de présenter un atlas complet de cartes cohérentes, mais il suffit de présenter une seule carte.
J'essayais de prouver pourquoi, mais je ne peux pas. J'ai supposé, par absurdité, que j'avais deux atlas d'orientation différente, faits de graphiques cohérents par paires, contenant un graphique commun$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
mais d'ici je ne parviens à aucune absurdité. Quelqu'un peut-il m'aider s'il-vous-plaît?
Réponses
Je vais utiliser la terminologie «variété» au lieu de «surface», car «surface» signifie généralement 2 dimensions.
Laissez-moi utiliser la notation $M$ pour le collecteur en question.
Vous devez en quelque sorte utiliser l'hypothèse que la variété $M$est connecté. Puisque les variétés sont connectées localement au chemin, vous pouvez utiliser le théorème selon lequel un espace connecté localement connecté au chemin est connecté au chemin.
Considérez le graphique commun $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ dans $A_1 \cap A_2$et fixer un point de base $p \in U_1$.
Maintenant, je vais prouver directement que n'importe quel graphique dans $A_1$ et tout graphique dans $A_2$ sont cohérents à tout moment de leur chevauchement.
Considérez tout $x \in M$et choisissez des graphiques $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ dans $A_1$ et $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ dans $A_2$, tel que $x \in U_I \cap U'_J$. Nous devons montrer que$\varphi_I$ et $\varphi'_J$ sont cohérents au point $x$.
Utilisation de la connectivité de chemin du collecteur $M$, choisissez un chemin continu $\gamma : [0,1]$ tel que $\gamma(0)=p$ et $\gamma(1)=x$. Depuis les décors$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ couverture $M$, leurs images inverses $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ couverture $[0,1]$. En appliquant le lemme des nombres de Lebesgue, nous pouvons choisir un entier$N \ge 1$et décomposer $[0,1]$ en sous-intervalles $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, pour que $\gamma(I_m)$ est un sous-ensemble de l'une des intersections $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
Nous savons que $\varphi_{i(1)}$ et $\varphi'_{j(1)}$ sont tous deux cohérents entre eux à $\gamma(0)=p$, parce que les deux sont cohérents avec $\varphi_1$. Considérez le chemin$\gamma \mid I_1$ et laissez $t \in I_1 = [0,1/N]$ varie de $0$ à $1/N$. Comme$t$ varie, le déterminant de la dérivée de la carte de chevauchement des deux graphiques $\varphi_{i(1)}$ et $\varphi'_{j(1)}$ varie continuellement, il est différent de zéro partout et il est positif à $t=0$, par conséquent, il est positif à $t=1/N$. Cela prouve que$\varphi_{i(1)}$ et $\varphi'_{j(1)}$ sont cohérents à $\gamma(1/N)$.
Nous faisons maintenant une preuve d'induction: en supposant par induction $\varphi_{i(m)}$ et $\varphi'_{j(m)}$ sont cohérents à $\gamma(m/N)$, nous prouvons que $\varphi_{i(m+1)}$ et $\varphi'_{j(m+1)}$ sont cohérents à $\gamma((m+1)/N)$. Depuis$\varphi_{i(m)}$ et $\varphi_{i(m+1)}$ sont cohérents à $\gamma(m/N)$, et depuis $\varphi'_{j(m)}$ et $\varphi'_{j(m+1)}$ sont cohérents à $\gamma(m/N)$, il s'ensuit que $\varphi_{i(m+1)}$ et $\varphi'_{j(m+1)}$ sont cohérents à $\gamma(m/N)$. Maintenant la preuve continue comme dans le paragraphe précédent, en utilisant la continuité du déterminant de la dérivée de la carte de chevauchement des deux cartes$\varphi_{i(m+1)}$ et $\varphi'_{j(m+1)}$ à $\gamma(t)$, comme $t \in I_{m+1}$ varie de $m/N$ à $(m+1)/N$, et la cohérence de ces graphiques à $\gamma(m/N)$, pour en déduire la cohérence à $\gamma((m+1)/N)$. Ceci complète l'étape d'induction.
Pour compléter la preuve, nous avons montré que $\varphi_{i(N)}$ et $\varphi'_{j(N)}$ sont cohérents à $\gamma(N/N)=x$. Nous savons aussi que$\varphi_I$ est cohérent avec $\varphi_{i(N)}$, et $\varphi'_J$ est cohérent avec $\varphi'_{j(N)}$ à $x$. Par conséquent,$\varphi_I$ et $\varphi'_J$ sont cohérents à $x$.
Laisser $M$ être ton $k$-surface dimensionnelle imprimée par rapport à la carte $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ tel que $\omega$ne disparaît pas à tout moment. Ceci est possible puisque$M$ est orientable. $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ où $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ et $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$est une fonction lisse qui ne disparaît pas. Puisque les graphiques sont cohérents, soit tous$g_i$Les s sont positifs ou tous négatifs. Supposons que tous les$g_i$sont positifs.
Maintenant vous avez les graphiques $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ Comme avant nous obtenons $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ et ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. Par la même logique que ci-dessus, on obtient soit$\{g_1, h_j \}_j$sont toutes des fonctions positives ou toutes négatives. Mais depuis$g_1$ est positif, nous obtenons tout $h_j$sont positifs. Ainsi, vous obtenez la même orientation.