Paramètres d'une distribution bêta

Jan 10 2021

J'ai rencontré ici une question sur les paramètres négatifs d'une distribution bêta. Voici le lien pour cette question: Paramètres négatifs de la distribution bêta

Il y a un commentaire où le $A$ paramètre = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , et le $B$ paramètre = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

Puis-je demander comment arriver à cette équation ou au moins une référence de celle-ci? J'ai essayé d'expliquer les paramètres a et b trouvés sur Wikipedia mais je suis arrivé à une réponse légèrement différente par rapport au dit commentaire (un paramètre de Wikipedia doit être multiplié par -1 pour arriver à la même réponse).

Je vous remercie beaucoup pour votre aide.

Réponses

2 passerby51 Jan 10 2021 at 23:56

Cela peut être de la triche, mais vous pouvez laisser Wolfram Alpha résoudre les équations pour vous.

Selon Wolfram Alpha, la réponse non triviale est \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} en supposant $m \neq 0$, $v \neq 0$ et $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

Voici ce que produisent les équations sur une grille équi-distante sur $[0,1]^2$ pour $(m,v)$:

L'équation de la variance peut être écrite de manière plus compacte comme $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$


On peut se demander quelles combinaisons $(m,v) \in [0,1]^2$conduisent à des paramètres valides pour la distribution bêta. Pour cela, nous devons avoir$\alpha$ et $\beta > 0$. Ces deux conditions sont satisfaites si et seulement si\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} montrant que c'est la seule condition nécessaire, en plus $m \in (0,1)$.