Paramètres d'une distribution bêta
J'ai rencontré ici une question sur les paramètres négatifs d'une distribution bêta. Voici le lien pour cette question: Paramètres négatifs de la distribution bêta
Il y a un commentaire où le $A$ paramètre = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , et le $B$ paramètre = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$
Puis-je demander comment arriver à cette équation ou au moins une référence de celle-ci? J'ai essayé d'expliquer les paramètres a et b trouvés sur Wikipedia mais je suis arrivé à une réponse légèrement différente par rapport au dit commentaire (un paramètre de Wikipedia doit être multiplié par -1 pour arriver à la même réponse).
Je vous remercie beaucoup pour votre aide.
Réponses
Cela peut être de la triche, mais vous pouvez laisser Wolfram Alpha résoudre les équations pour vous.
Selon Wolfram Alpha, la réponse non triviale est \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} en supposant $m \neq 0$, $v \neq 0$ et $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.
Voici ce que produisent les équations sur une grille équi-distante sur $[0,1]^2$ pour $(m,v)$:
L'équation de la variance peut être écrite de manière plus compacte comme $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$
On peut se demander quelles combinaisons $(m,v) \in [0,1]^2$conduisent à des paramètres valides pour la distribution bêta. Pour cela, nous devons avoir$\alpha$ et $\beta > 0$. Ces deux conditions sont satisfaites si et seulement si\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} montrant que c'est la seule condition nécessaire, en plus $m \in (0,1)$.