Peut-on caractériser les antichaines maximales en termes de réseaux distributifs?

Question

Ceci est inspiré par la question récente Vérification d'un antichain maximal

La célèbre dualité entre posets finis et treillis distributifs finis a plusieurs belles formulations. L'un d'eux assigne à un poset$P$ le treillis $\mathscr D\!P$de ses downdeals (j'aime ce mot inventé, je pense, par Freyd). Un downdeal de$P$ un sous-ensemble $D\subseteq P$ satisfaisant $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Il s'agit d'un réseau distributif (borné) en ce qui concerne les opérations d'union et d'intersection. À l'inverse d'un réseau distributif fini$L$ on assigne le poset $\Pi\!L$de ses nombres premiers . Un élément$p\in L$ est premier si $x\land y=p$ implique $x=p$ ou alors $y=p$, et les nombres premiers sont classés par divisibilité: $p\leqslant q$ iff $p$ se divise $q$, noté $p|q$ c'est à dire $\exists x\ q=p\land x$, ou de manière équivalente juste $p\land q=q$. Cela semble être une complication excessive en ce sens qu'il inverse l'ordre hérité de$L$, mais c'est juste une question de commodité: vous pouvez toujours passer à toutes sortes de définitions équivalentes, comme inverser l'ordre dans $P$ ou dans $L$, en remplaçant les nombres premiers par des join-primes, ou en passant à des compléments de downdeals, qui sont des updeals , ou les deux, etc., etc.

La dualité dit deux choses. Premièrement, que chaque$L$ peut être identifié avec le réseau de downdeals de ses nombres premiers, c'est-à-dire un élément $x\in L$ est uniquement déterminé par ses diviseurs premiers, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; en d'autres termes, chaque$x$est la rencontre de ses diviseurs premiers. De plus, chaque downdeal$D$ de $\Pi\!L$ est $D_x$ pour un unique $x\in L$, à savoir, pour $x=\bigwedge D$.

Deuxièmement, la dualité dit que chaque poset $P$ peut être identifié avec le poset de nombres premiers de $\mathscr D\!P$. À savoir,$p\in P$ s'identifie à $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ et chaque prime de $\mathscr D\!P$ est $\not\uparrow p$ pour un unique $p\in P$. en outre$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.

Maintenant pour un poset fini $P$, ses downdeals sont en correspondance un à un avec ses antichains: to a downdeal $D$ on assigne l'antichain $\max\!D$ de ses éléments maximaux, et à une antichaïne $\alpha\subseteq P$ le downdeal $\downarrow\!\alpha$ des éléments ci-dessous $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.

Ma question est: peut-on caractériser de manière abstraite, algébrique, sans faire appel à cette dualité, ces éléments d'un réseau distributif fini $L$qui correspondent aux antichaines maximales de son double poset?

Plus explicitement (j'espère ne pas avoir commis d'erreur lors de sa traduction): y a-t-il une caractérisation purement algébrique, sans mentionner les nombres premiers, de ces $a\in L$ avec la propriété que pour tout prime $p\notin D_a$ il y a un prime $p'\in\max D_a$ avec $p'|p$?

Pour cette question inspirante, nous n'avons en fait besoin que de considérer les réseaux distributifs finis libres , ce qui signifie ne considérer que les posets$P$qui sont des ensembles pleins de puissance d'un ensemble fini, ordonnés par inclusion. On ne sait pas grand-chose de la cardinalité de l'ensemble de toutes les antichaines maximales dans un ensemble de pouvoirs. Selon OEIS , la séquence de ces débuts comme$1,2,3,7,29,376,31764,...$

La question Carte sur la classe de tous les posets finis provenant d'antichaines de taille maximale semble être très étroitement liée, mais celle-ci concerne les antichaines de plus grande taille possible, tandis que la mienne concerne toutes les antichaines maximales, c'est-à-dire les antichaines qui ne sont contenues dans aucune autre antichaine. Il est clair que de telles antichaines peuvent avoir différentes tailles en général, en particulier dans les ensembles de puissance. Par exemple, les deux éléments antichain$\{\{1\},\{2\}\}$ et le seul élément antichain $\{\{1,2\}\}$ sont des antichaines maximales dans l'ensemble de puissance de $\{1,2\}$.

Answer 1

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Richard Stanley explique dans un commentaire que les antichains maximaux $A$ de $P$ sont en correspondance biunivoque avec des intervalles booléens maximaux de $\mathscr D\!P$.

En général, étant donné $D'\subseteq D$ avec $D,D'\in\mathscr D\!P$, il est facile de voir que l'intervalle $[D',D]$ est le réseau isomorphe à $\mathscr D(D\setminus D')$, où $D\setminus D'$ est le sous-ensemble de $P$avec l'ordre partiel induit. Donc$[D',D]$ est booléen si et seulement si $D\setminus D'$ est un antichain.

Inversement, tout antichain $A\subseteq P$ donne lieu à un tel intervalle booléen, avec $D=\downarrow\!A$ et $D'=D\setminus A$. Et (clairement?) Les antichaines maximales correspondent aux intervalles booléens maximaux.

Il y a maintenant une construction que j'ai vue pour la première fois interprétée par Harold Simmons. Pour un élément$a$ dans n'importe quelle algèbre de Heyting complète, laissez $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Puis $[a,\tau a]$ est le plus grand intervalle booléen avec le bas $a$.

Clairement, dans une algèbre co-Heyting complète, il y a un opérateur à double définition $\delta$ tel que $[\delta b,b]$ est le plus grand intervalle booléen avec top $b$.

Exemple. Dans le réseau d'ensembles fermés d'un espace topologique,$\delta$est le dérivé de Cantor-Bendixson. Autrement dit, pour un ensemble fermé$C$, $\delta C$ est l'ensemble de ses points limites.

Donc si nous sommes dans une algèbre bi-Heyting complète, les deux opérateurs sont disponibles, et un intervalle $[a,b]$ est booléen maximal si et seulement si $a=\delta b$ et $b=\tau a$.

Cela implique alors apparemment que les deux éléments $a$ satisfaisant $\delta\tau a=a$ et éléments $b$ satisfaisant $\tau\delta b=b$devrait en quelque sorte correspondre aux antichaines maximales. Plus précisément, dans le cas où notre algèbre est$\mathscr D\!P$ pour certains poset $P$, ensuite $\tau\delta D=D$ pour $D\in\mathscr D\!P$ devrait signifier que $\max D$ est une antichaïne maximale, tandis que $\delta\tau D=D$ devrait signifier que $\min(P\setminus D)$ est une antichaïne maximale.