Pourquoi est-ce $R_t$ (ou $R_0$) et ne pas doubler le taux ou le temps de la métrique de référence pour mesurer l'expansion de Covid-19?

Nov 26 2020

Dans ma tête, la façon naturelle de mesurer la vitesse d'expansion d'une épidémie à travers des populations de différentes tailles consiste simplement à ajuster une exponentielle par rapport aux nombres d'infections récentes (avec n'importe quelle stratégie), en obtenant un paramètre $C$ pour $I(t) \approx e^{Ct}$. Cela donne des informations pratiques utiles telles que le temps de doublement.

D'après ce que je comprends, le nombre de reproduction effectif $R_t$ est une quantité liée mais non égale à $C$. En fait, dans certains modèles simples $C$ est une fonction de $R_t$ et de la période infectieuse moyenne $\tau$. (ce qui a du sens, comme$R_t$ est une unité sans dimension et serait la même pour deux épidémies différentes qui ne sont obtenues l'une de l'autre que par rééchelonnement du temps).

Le temps infectieux moyen $\tau$est une quantité qui ne peut pas être estimée directement à partir des données et qui doit être fournie en tant que paramètre externe. Ce paramètre n'est pas anodin à estimer en soi; par exemple, le résumé de cet article donne une estimation de$6.5 - 9.5$ jours pour Covid-19.

La vraie relation entre $R_t$ et $C$ est probablement encore plus compliqué car cela dépend également de la façon dont ces infections sont réparties au cours de la période infectieuse.

Intuitivement, la difficulté d'estimer $\tau$ devrait refléter dans $R_t$ ayant une barre d'erreur plus grande que $C$. En effet, j'ai vu dans les médias des estimations de$R_t$avec des intervalles de confiance ridiculement grands; par exemple celui-ci pour une région italienne de 4 millions d'habitants a été publié par un journal italien sur leur site Internet.

Alors, voici ma question: ne serait-il pas plus simple et plus utile d'utiliser$C$(ou, de façon équivalente, le temps de doublement) comme mesure de la vitesse d'expansion d'une épidémie? Cette quantité serait probablement plus fiable à estimer, car elle ne dépend pas de paramètres étrangers tels que$\tau$.

$R_t$ a la propriété qu'une épidémie se propage si elle est supérieure à $1$, et contracter s'il est inférieur à $1$; $C$ a la même propriété avec $0$étant la valeur discriminante. Donc, du point de vue de donner une valeur de référence facile, les deux sont également efficaces.

Alors pourquoi de nombreux gouvernements et agences d'État signalent-ils régulièrement $R_t$ plutôt que le taux $C$comme mesure principale et l'utiliser pour déterminer quand les mesures doivent être appliquées? Qu'est-ce qui le rend plus utile que le temps de doublement?

Réponses

7 S.CatterallReinstateMonica Nov 26 2020 at 18:53

Le taux d'expansion est utile à connaître, mais l'avantage de $R_t$ est-ce que - bien que plus difficile à mesurer - il fournit une description plus mécaniste du processus de transmission, et par conséquent il est plus utile du point de vue de la lutte contre la maladie. $R_t$ peut être formulé comme

$R_t=cp\tau S$,

$c$ est la vitesse à laquelle une personne typique établit des contacts avec les autres
$p$ est la probabilité de transmission à une personne contactée si cette personne est susceptible
$\tau$ est la période infectieuse moyenne
$S$ est la proportion de la population sensible.

Donc si $R_t$ est actuellement $2$, disons, alors pour réaliser $R_t<1$ nous pourrions soit réduire $cp$ (distanciation sociale), $\tau$ (isoler les individus infectieux), ou $S$ (vacciner) par exemple en vaccinant plus de $50\%$ de la population actuellement sensible serait suffisante pour atteindre le contrôle.

8 ChristophHanck Nov 26 2020 at 17:31

Conformément à la suggestion du PO, voici mon commentaire en guise de réponse:

Je suppose que dans les moments où $R\approx1$(par exemple ici en Allemagne au moment de la rédaction de cet article, novembre 2020), le temps de doublement est à peu près infini, car la situation est stable. Bien sûr, quand$R$ est légèrement au-dessus de 1, ce n'est plus vrai, mais de très petits changements dans $R$ devrait impliquer de très grands changements dans le temps de doublement, ce qui peut ne pas être un moyen très efficace de communiquer les changements dans la situation pandémique.

En effet, au cours de la première vague de notification de la pandémie, la notification s'est souvent faite en doublant le temps, ce qui a cependant été écarté lorsque la première vague a été maîtrisée. Voici une source commentant cette étape (en allemand).

2 SextusEmpiricus Nov 26 2020 at 22:57

Relation entre le nombre de reproduction $R(t)$ et taux de croissance $C(t)$

Le taux de croissance $C(t)$ et le $R(t)$ sont très liés.

  • $C(t)$est le taux de croissance par unité de temps. Il indique à quelle vitesse les infections se multiplient.

    (le temps de doublement est lié au taux de croissance voir comme l'inverse: comment calculer le taux de doublement des infections? )

  • $R(t)$est le facteur par lequel chaque génération se multiplie. Il indique le nombre de nouvelles infections pour chaque personne infectée.

Le taux de reproduction $R$indique par quel facteur les infections se multiplient à chaque étape. Mais ce n'est pas un taux de croissance avec juste des unités différentes (par génération au lieu de par temps) parce que les personnes infectées simultanément guérissent ou meurent et la croissance nette doit tenir compte de ces deux effets ensemble.

Alors $R(t)$raconte une histoire légèrement différente de celle du taux de croissance. En ce qui concerne le modèle compartimenté SIR, vous pouvez considérer deux taux:$\beta$ la vitesse à laquelle les nouvelles infections se produisent, et $\gamma$la vitesse à laquelle les infections disparaissent (en raison de la guérison ou du décès). Le taux de croissance (net) est la différence de ces deux$C= \beta -\gamma$. Le taux de reproduction est le rapport de ces deux$R = \beta/\gamma$.

Dans l'image ci-dessous, vous voyez un schéma de la croissance. Les nœuds représentent les personnes infectées et à partir de chaque nœud, nous dessinons des lignes vers les personnes qui seront ensuite infectées. Dans cet exemple, chaque personne infectée infectera deux nouvelles personnes.

  • Le taux de reproduction $R(t)$est le nombre de liens pour chaque nœud. Il représente un facteur de multiplication dans une réaction en chaîne.

  • Le taux de croissance $C(t)$ (la vitesse à laquelle cette courbe monte dans le temps) dépendra du temps entre chaque génération.

Si tu sais $C(t)$, alors vous ne connaissez pas encore la structure sous-jacente de la réaction en chaîne. Cette structure de la réaction en chaîne (résumée / simplifiée par$R(t)$) peut être essentielle pour comprendre le mécanisme et la dynamique de la propagation (et comment elle répond aux changements environnementaux comme la vaccination / l'immunité ou la distanciation sociale).

Si tu sais $\tau$le temps entre les infections (qui peut être visualisé différemment, par exemple l'intervalle de série ou l'intervalle de génération), vous pouvez alors relier le numéro de reproduction au taux de croissance

$$ C(t) = \frac{R(t)-1}{ \tau }$$

ou

$$ R(t) = 1 + C(t) \tau$$

Il existe d'autres relations possibles pour des modèles plus complexes. Le fait est principalement que vous n'obtenez pas une simple différence par un facteur d'échelle$C(t) = \frac{R(t)}{ \tau }$. le$-1$ terme se produit parce que vous avez non seulement une croissance / reproduction, mais aussi une diminution en raison du fait que les gens s'améliorent ou meurent.

Un travail standard expliquant comment relier le taux de croissance et le nombre de reproduction est "Comment les intervalles de génération façonnent la relation entre les taux de croissance et les nombres de reproduction" de Wallinga et Lipsitch dans Proc Biol Sci. 22-02-2007 Vol 274: 1609 ). Ils relient le nombre de reproduction et le taux de croissance en utilisant la distribution d'intervalle de génération et la fonction génératrice de moment$M(s)$ de cette distribution pour finir avec

$$R(t) = \frac{1}{M(-C(t))}$$

Et par exemple, avec une distribution gamma, vous obtenez $M(s) = (1-s \frac{\mu_{\tau}}{k} )^{-k}$ et

$$R(t) = \left( 1+ C(t) \frac{\mu_{\tau}}{k}\right)^{k} = 1 + C(t) \mu_{\tau} + \sum_{n=2}^\infty {k\choose n} \left(C(t) \frac{\mu_{\tau}}{k} \right)^n$$

qui est égal à $ R(t) = 1 + C(t) \tau$ si $k = 1$ et sera approximativement égal (au premier ordre) lorsque $|C(t)|\frac{\mu_{\tau}}{k} \ll 1$. (dans le graphique, l'intervalle de génération est en fait une distribution dégénérée et vous vous retrouvez avec$R = e^{\tau C(t)}$ au lieu de $ R(t) = 1 + C(t) \tau$)


Pourquoi $R(t)$ est utile

  • $R(t)$ se rapporte à la réaction en chaîne

    le $R(t)$ la valeur est importante car elle est plus proche du mécanisme multiplicatif sous-jacent de croissance en termes de réaction en chaîne.

    Cette réaction en chaîne s'amplifie si chaque événement provoque plusieurs nouveaux événements dans un rapport supérieur à 1, si plus d'infections sont créées que d'infections dissoutes (créant un effet boule de neige). La réaction diminue lorsque chaque événement provoque moins d'un nouvel événement.

    En termes de $\beta$ (taux de nouvelles personnes infectées) et $\gamma$ (taux de personnes infectées guérissant ou mourant) vous obtenez une croissance lorsque $\beta > \gamma$. Le taux de reproduction$R = \beta / \gamma$ est directement lié aux changements $\beta$(qui peut changer en raison de la vaccination / vaccination ou de l'éloignement social). Si$\beta$ change d'un certain facteur alors $R$change par le même facteur. Pour le taux de croissance$C= \beta-\gamma$ il est moins directement clair quel sera l'effet quand $\beta$ changements.

    Par exemple si $\beta$ réduit de moitié alors cela pourrait représenter un changement du taux de croissance $C=\beta-\gamma$ de $3 = 4-1$ à $1 = 2-1$, ou cela pourrait tout aussi bien représenter un changement du taux de croissance $3=9-6$ à $-1.5=4.5-6$. Le taux de croissance à lui seul ne permet pas de faire le lien direct entre les changements relatifs$\beta$et comment cela influence le taux de croissance. D'autre part, le taux de reproduction$R =\beta/\gamma$ changements dans ces situations de $4$ à $2$ ou de $1.5$ à $0.75$ et exprime plus clairement ce qui arrivera à la réaction en chaîne (croissance versus diminution) si la dynamique de la propagation change (qui est plus directement régie par $\beta$).

    Avec le taux de reproduction, que vous pouvez voir comme le facteur de multiplication dans la réaction en chaîne, nous savons mieux comment l'amplification change en termes de changements dans la dynamique du virus. Par exemple, si le taux de reproduction est de 2 et en raison de mesures (ou du fait que davantage de personnes deviennent immunisées), le taux est réduit de moitié, alors la reproduction sera de 1 et la réaction en chaîne sera neutralisée.

    Le taux de croissance $C$ne pas vous dire par quel facteur vous devez réduire la propagation (le facteur de multiplication) afin de modifier la croissance de plus en plus à la baisse. En effet, le taux de croissance ne contient pas d'informations sur le facteur de multiplication dans la réaction en chaîne sous-jacente.

    Le taux de croissance est donc un descripteur plus naturel qui explique comment le virus se propage. C'est une indication de la multiplication du taux de propagation à chaque génération.

  • Calcul de l'immunité collective

    Une application directe est par exemple l'utilisation du calcul du niveau d'immunité nécessaire pour atteindre l'immunité collective au moyen d'une immunisation aléatoire (vaccination).

  • Développement futur de la courbe épidémiologique

    Un autre effet utile est que le taux de reproduction est un meilleur indicateur que le taux de croissance pour déterminer combien de personnes seront infectées avant que la propagation ne diminue. Dans le graphique, vous voyez que le virus se reproduit avec un facteur 2 à chaque génération mais cela ralentira car d'autres personnes seront immunisées (et il y aura moins de personnes à transmettre le virus, la multiplication diminuera).

    Ceci est illustré dans l'image ci-dessous à partir de cette question qui a essayé d'ajuster les courbes de croissance afin de trouver$R(0)$mais a eu du mal à trouver un bon ajustement. L'une des raisons du problème dans l'ajustement est que vous pouvez avoir le même taux de croissance pour différentes valeurs de$R(0)$. Mais dans l'image, vous voyez aussi que plus loin dans le temps$R(0)$ la valeur a un fort impact sur la courbe épidémiologique.

    Le ralentissement se produit plus tôt lorsque le $R(t)$est plus proche de 1 (quand il est plus proche de 1, il doit baisser relativement moins pour être égal à 1 ou moins). Le taux de croissance n'indique pas à quel point le taux de reproduction / multiplication est proche de 1. Sinon, vous pouvez le voir de cette façon: parce que le taux de croissance est lié comme$C(t) \propto R(t) -1$, réduisant le taux de reproduction $R(t)$ par un certain facteur réduira le taux de croissance par un facteur différent.

  • Mesures alternatives De plus, le$R(t)$ La valeur peut être calculée soit sur la base d'autres paramètres épidémiologiques (taux de contact et autres), soit mesurée «sur le terrain» par des données sur la recherche des contacts.


Pourquoi $R(t)$ n'est pas si utile

le $R(t)$la valeur est une mesure hautement simplifiée . Dans la plupart des modèles, cela représente une reproduction moyenne, mais la réalité est qu'il y a inhomogénéité et cela peut avoir une grande influence sur les conclusions tirées par rapport à$R(t)$ (les mêmes arguments s'appliquent à $C(t)$).

  • Par exemple, considérez une population comme un mélange de $R(t)$valeurs. Dans ce cas, réduire le taux de propagation par un facteur de deux ne fera pas baisser la moyenne$R(t)$de 2 à 1. Il y aura un effet tampon des régions avec des taux de reproduction locale relativement plus élevés où la propagation se poursuivra. Ainsi, les mesures que nous prenons semblent rester bloquées$R(t) \approx 1$. (également lié est l'effet discuté ici )
  • Un autre effet est que les calculs de l'immunité collective ne sont pas corrects car les inhomogénéités signifient que l'immunité aura un effet différent dans différents endroits (et heureusement pour nous, c'est exactement ces endroits où la propagation est plus forte et où la vaccination se produit plus rapidement, que la vaccination aura l'effet le plus fort).
  • En plus des calculs de $R_0$peut être faux. Souvent, ils reposent sur l'hypothèse qu'au début$C(0) = (R_0-1)/\tau$. ensuite$R_0$ est déterminé sur la base des mesures de $C(0)$ (le taux de croissance initial des courbes épidémiologiques) et $\tau$(en déterminant la moyenne de la distribution de l'intervalle sériel). Mais cela suppose à tort que toutes les personnes sont également sensibles dès le départ.