Pourquoi les équations de Maxwell ne sont-elles pas surdéterminées? [dupliquer]

Question

Considérez les quatre équations différentielles dans le tableau donné sur wikipedia ici et supposez qu'il n'y a pas de distribution de charge à tout moment, et donc pas de courant. S'il n'y a pas de frais, les quatre équations se réduisent à ce qui suit:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

Les deux dernières équations nous disent comment les champs magnétique et électrique changent respectivement dans le temps, donc étant donné certains champs magnétiques et électriques initiaux, on devrait être en mesure de déterminer tout état futur des deux champs. Cela fait que les deux premières équations me semblent redondantes et le système semble donc surdéterminé. Cependant, ils sont clairement nécessaires, donc je dois manquer quelque chose. Les deux premières équations sont-elles simplement des conditions initiales?

Answer 1

Les deux premières équations de Maxwell décrivent les champs électriques et magnétiques statiques. De ces équations, nous apprenons les propriétés géométriques de ces champs et la nature des lignes de force que ces champs produisent. Le premier (lorsqu'il y a une charge présente)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

nous amène à déterminer la forme du champ électrique pour tout type de distribution de charge. Ceci est extrêmement important pour l'étude de l'électrostatique. De plus, cette équation peut être utilisée pour dériver l'équation de Poisson,

$$\nabla^2 V = -\rho$$

ce qui nous permet de déterminer le potentiel électrostatique $V$pour diverses distributions de charges. Nous pouvons également utiliser l'équation de Maxwell ci-dessus pour dériver la loi de Coulomb (bien que cette loi ne soit pas nécessairement un résultat direct de cette équation uniquement). L'équation de Poisson est également un outil très puissant dans l'étude de l'électrostatique. Cette équation a également de puissantes applications en physique des semi-conducteurs.

La deuxième équation que vous mentionnez,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

nous dit quelque chose de très important, c'est que les monopôles magnétiques n'existent pas. L'implication mathématique de cette équation est qu'il doit exister un potentiel vectoriel magnétique$\vec A$ où

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

C'est un résultat mathématique puissant. Ce potentiel de vecteur magnétique est omniprésent dans l'électrodynamique classique et l'électrodynamique quantique.