Pourquoi pouvez-vous déformer le contour dans l'expression intégrale du propagateur de Klein-Gordon pour obtenir le propagateur euclidien?
J'essaie de comprendre l'utilisation des fonctions de corrélation euclidienne dans QFT. J'ai chassé les problèmes que j'avais pour savoir comment ils se manifestaient dans l'exemple le plus simple auquel je puisse penser: le propagateur à deux points de l'équation de Klein-Gordon. VP Nair (pdf pages 57-58) commence par le propagateur de Feynman pour l'équation de Klein Gordon,
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Il soutient ensuite que vous pouvez déformer le contour de telle sorte que le $k_0$ l'intégrale remonte l'axe imaginaire, pour obtenir
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
à quel point vous êtes un changement de variables loin d'obtenir la relation que nous voulons entre les propagateurs Minkowski et euclidiens. Nair dit qu '"il n'y a pas de croisement des pôles de l'intégrale dans cette déformation", et je peux le voir: vous déformez le contour à travers les quadrants supérieur droit et inférieur gauche du plan complexe, évitez donc les pôles. Mon problème est qu'en est -il des contours quart de cercle à l'infini ? Vous devez laisser les extrémités fixes lorsque vous déformez le contour, afin d'obtenir le$k_0$intégrale pour suivre la ligne imaginaire il faut avoir un contour qui relie les extrémités de l'imaginaire à la ligne réelle qui s'évanouit. Mais cela ne peut certainement pas être le cas dans les contours supérieur droit et inférieur gauche, car l'intégrale a un facteur$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, qui selon le signe de $x_0$divergera à l'un ou l'autre grand imaginaire positif$k_0$ ou grand imaginaire négatif $k_0$?
Il existe une manière légèrement différente de conduire au même problème. Nair arrive à la relation
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
où le propagateur euclidien est défini
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
Le problème ici est que si vous mettez des valeurs imaginaires de $x_4-y_4$ dans l'intégrale définissant alors vous obtenez une divergence exponentielle dans le $k_4$ intégrale, donc le résultat est mal défini.
Alors qu'est-ce qui se passe ici? Est-ce que je rate quelque chose d'évident ou est-ce que Nair fait un geste flagrant? Et, dans ce dernier cas, pourriez-vous m'indiquer la direction d'un traitement de la relation entre les fonctions de corrélation euclidienne et de Minkowski qui n'est pas aussi mathématiquement technique que l'article d' Osterwalder et Schrader ? (C'est tout ce que j'ai réussi à trouver référencé ailleurs!) Quand j'ai essayé de trouver la relation dans des cas plus complexes et plus généraux - par exemple en regardant la fonction de partition exprimée comme une intégrale de chemin - je pense que j'ai trébuché sur plus ou moins le même problème, de cette divergence du facteur exponentiel, je pense donc que si je trie cette dérivation du propagateur KG, le reste devrait se mettre en place.
Réponses
C'est peut-être un peu flou dans la façon dont Nair l'a écrit, mais il est essentiel que vous fassiez les deux remplacements.$k_0=ik_4$ et $x^0=ix^4$simultanément. Cela permet de conserver intactes les propriétés de convergence de l'intégrale d'origine.
Notez qu'il y a un signe supplémentaire dans la convention de Nair car il passe de quantités de type temps à des quantités de type espace, qui obtiennent alors un signe différent dans la multiplication vectorielle. $k\cdot x$. Au lieu de cela, vous auriez pu faire$k_0\to ik_0$ et $x^0\to -ix^0$, les laissant sous forme de quantités temporelles. Si vous procédez de cette façon, il est clair que vous ne faites qu'attribuer$k_0$ et $x^0$phases égales mais opposées. Plutôt qu'un plein$\pi/2$, vous auriez pu utiliser n'importe quelle phase $k_0\to e^{i\theta}k_0$ et $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ et il est clair que le produit $k_0 x^0$ est inchangé.
Je ne sais pas si Nair couvre cela, mais cet ajout d'une partie imaginaire à la coordonnée temporelle a une signification physique dans la théorie des perturbations. Il introduit une évolution non unitaire car l'opérateur d'évolution$e^{-i\hat H x^0}$ n'est plus unitaire si $x^0$a une partie imaginaire. Cette évolution non unitaire vous permet de projeter automatiquement le vide en interaction à partir du vide libre, vous permettant ainsi de construire des approximations perturbatives de quantités dans la théorie en interaction en utilisant les ingrédients de la théorie libre. Je n'essaierai pas d'écrire les détails dans cette réponse, mais ces choses sont couvertes dans Peskin & Schroder Ch.4, en particulier les pages 86-87 et 95.
La réponse de l'utilisateur kaylimekay est exactement exacte que le produit interne $k_{\mu} x^{\mu}$doit en principe rester invariant sous une rotation de mèche , cf. par exemple mes réponses Phys.SE ici , ici et ici .
Malheureusement la règle de transformation $x^0=ix^4$ dans Ref.1 est en face de la transformation standard Wick $x^4=ix^0$, cf. par exemple ce post Phys.SE.
Cela complique les choses que Ref. 1 utilise le$(+,-,-,-)$Convention de signature de Minkowski, cf. ma réponse Phys.SE ici .
Les références:
- VP Nair QFT: Une perspective moderne , 2004; chapitre 4, p. 43-46, éqs. (4.13-19).
La façon dont $G(x,y)$ est prêt à être utilisé pour les nombres complexes $x_0,y_0$ consiste à utiliser la transformée de Laplace inverse (au lieu de la transformée de Fourier inverse) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ où la partie exposante contient $-k_0(x_0-y_0)$comme on le voit dans la transformation de Laplace. De cette façon, il ne devrait pas y avoir de divergence désagréable. En fait, l'intégrale peut toujours être décalée dans la transformée de Laplace inverse$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ C'est probablement comme dire: utilisons le noyau de Klein-Gordon et voyons ce que nous pouvons trouver.
Il s'avère que le remplacement $k_0\leftarrow -ik_0$ dans l'équation ci-dessus produit $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$qui est le propagateur euclidien. C'est, du moins ce que je ressens, comment la rotation de Wick aurait dû être effectuée.