Prouver l'adjonction $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$

Question

Je me souviens que $\Delta$ est la catégorie dont les objets sont de la forme $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ et les morphismes sont (faiblement) des cartes préservant l'ordre.

Laisser $\mathcal{C}$ être une catégorie, et laissez $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ être la catégorie de foncteurs des objets cosimplicatifs dans $\mathcal{C}$.

Il y a un foncteur $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ qui prend un objet cosimplicatif $X[-]$ à sa valeur à $0$, $X[0]$.

Il y a aussi un foncteur $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ prendre un objet $C$ au foncteur constant $rC$ tel que $rC[n]=C$ pour tous $n$.

J'ai lu l'affirmation selon laquelle nous avons une adjonction $$\text{ev}_0 \dashv r$$ et je voudrais le prouver.

Compte tenu d'une transformation naturelle $\eta: X[-] \Rightarrow rC$, Je peux bien sûr l'envoyer sur la carte $\eta_0:X[0]\to C.$

Par contre, je peux considérer le diagramme $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ où chacun $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ est induite par la surjection $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ Envoi en cours $n \mapsto n-1$ et $i \mapsto i$ pour tous $i<n$.

Alors donné une carte $f:X[0] \to C,$ Je peux définir inductivement $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$

Je pense que si je prouve cette famille $\{f_i\}_i$définit une carte d'ensembles cosimpliciaux, c'est à dire une transformation naturelle, je suis fait. Mais je ne sais pas comment faire ça avec les cartes générales$X[i]\to X[j].$

Answer 1

Pour chaque $n$ il y a une carte unique $!_n : n \to 0$ dans $\Delta$. Supposer que$\alpha : X \implies r(c)$est une transformation naturelle. Puis par naturalité à la carte$!_n$, le composant $\alpha_n$ doit être égal à $\alpha_0 \circ X(!_n)$. Ainsi une transformation naturelle en$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ est complètement déterminé par $\alpha_0$.

D'autre part, si $\alpha_0 : X(0) \to c$ est un morphisme dans $\mathcal{C}$ alors nous pouvons l'élever à une transformation naturelle $\alpha : X \implies r(c)$ en définissant le composant $\alpha_m : X(m) \to c$ être $\alpha_0 \circ X(!_m)$. C'est vraiment une transformation naturelle car si$f:n \to m$ dans $\Delta$ puis $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.