Prouver l'existence et l'unicité d'un problème de Cauchy

Question

J'ai besoin d'une aide pour prouver l'existence et l'unicité du problème de Cauchy suivant:

\ begin {cases} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {cases}

Cela peut être refondu comme un système de premier ordre où $f$ est défini comme $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

Afin de prouver l'existence (locale) et l'unicité, je dois montrer que $f$ est localement Lipschitz wrt $y$, (c'est le RHS d'un ODE)

Je calcule:

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

Donc pour $|x| < a$ (c'est-à-dire dans un quartier de $x_0=0$ j'ai $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, donc c'est localement Lipschitz ( mais pas globalement )

Tout est-il correct?

Answer 1

Vous avez la fonction $f(x,y)$faux. Ce que vous devez faire est de définir une troisième variable qui servira de dérivée première de$y$. La fonction souhaitée est$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. C'est la fonction que vous voulez montrer est Lipschitz.

Answer 2

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ Changement de variable:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$Il s'agit d'une équation de Bessel dont la solution est bien connue. Voir les équations (6) et (7) dans:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ et $Y_0$sont les fonctions de Bessel du premier et du second type respectivement. La solution générale de l'ODE est:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ Les coefficients $c_1$ et $c_2$ sont déterminés en fonction des conditions $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ ce qui conduit à la solution unique: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$