Prouver le lemme d'Euclide général dans un UFD en utilisant la factorisation premier
J'ai vu beaucoup de preuves pour ce théorème: dans un UFD si $(a,b)=1$ et $a|bc$ puis $a|c$. Ils utilisent principalement la loi de distribution pgcd, par exemple ici . Eh bien, je voulais le prouver simplement en me fondant sur les propriétés de l'UFD.
Ma tentative: depuis $a|bc$ alors pour certains $r$ nous avons $ar=bc$. Maintenant par l'existence, puisque nous savons que tout élément non unitaire comme$a$ peut être réécrit comme $t_1×....t_n$ où $t_i$ sont irréductibles, nous pouvons le faire:
$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (Où $p_i$, $g_i$, $q_i$ et $h_i$sont des nombres premiers.) Par unicité, l'ensemble qui est à droite devrait également être à gauche, ai-je raison? Mais depuis$(a,b)=1$ puis $a$ et $b$ne devrait pas partager les éléments principaux. D'une certaine manière c'est comme$A$ est un sous-ensemble de $C$. Je ne peux pas vraiment gérer ça mais ça devient comme un problème en théorie des ensembles.
Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider avec ma propre approche ??
Réponses
Vous êtes très proche. Revenons à cette équation que vous avez déclarée: '
$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$
correspond à $ar=bc$. Comme vous l'avez dit, parce que nous sommes dans un UFD, l'ensemble des nombres premiers, comptés avec multiplicité, est le même des deux côtés (jusqu'à des unités). En outre, comme$(a,b)=1$ alors non $p_i$ peut diviser $b$. Encore une fois par unicité, cela signifie que non$p_i$ peut diviser $q_j$. En fait, on peut aller plus loin et dire que non$p_i^{\alpha_i}$ peut diviser $q_j$. En mettant cela ensemble, tous les$p_i^{\alpha_i}$doit apparaître dans la factorisation à droite (jusqu'aux unités). De plus, le$p_i^{\alpha_i}$ ne peut pas diviser le $q_j$. Ainsi, jusqu'aux unités, le$p_i^{\alpha_i}$ doit chacun en diviser $h_j^{\psi_j}$. Par conséquent, tous les facteurs premiers de$a$ compté avec la division de multiplicité $c$. Par conséquent,$a \mid c$.
Il a une preuve naturelle par récurrence sur le nombre $\:\!k\:\!$ des facteurs premiers de $\,a,\,$en utilisant comme étape inductive le lemme d'Euclide (si un premier divise un produit alors il divise un facteur). Si$\,k=0\,$ puis $\,a\,$ est une unité donc $\,a\mid c.\,$ Autre $\,a = p\bar a\,$ pour un prime $\,p\,$ donc $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ ou $\,p\mid c,\,$ donc $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ par $\,(p,b)=1\,$ par $\,(p\bar a,b)=1$. Annulation$\,p\,$ de $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ et $\,(\bar a,b)=1\,$ par $\,(p\bar a,b)=1.\,$ Remarquer $\,\bar a\,$a moins de facteurs premiers que$\,a=p\bar a,\,$ Donc $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (c'est à dire $\,a\mid c),\,$ par induction.
Exercice $ $Rendre explicites toutes les utilisations implicites de l' existence et de l' unicité des factorisations premières qui sont employées dans la preuve (nécessaire pour être complètement rigoureux).