Prouver qu'une fonction par morceaux est Darboux intégrable sur $[0,2]$ assistance

Question

Laisser $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ être donné par

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Prouve-le $f$ est Darboux intégrable et calcule $\int_{0}^{2}f$.

Tentative

Que la fonction Darboux soit intégrable signifie pour tous $\epsilon > 0$, il existe une partition $P$ de $[0,2]$ tel que $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Supposer $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ est une partition de $[0,2]$ avec $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Pour, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Aussi pour $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Maintenant j'ai du mal à gérer $x = 1$c'est là que se trouve la discontinuité et évidemment le défi du problème. Au début j'allais dire que$m_{i} = M_{i} = 100$ quel que soit l'intervalle dans lequel se trouve le nombre 1 et cela me donnerait:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

et

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Puis en soustrayant ceux-ci, j'obtiendrais $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Mais je pense que ce n'est pas la bonne réponse et j'ai besoin d'exprimer la partition un peu plus explicitement. Aussi quoi que ce soit$U(f,P) - L(f,P)$c'est-à-dire qu'elle finira par converger vers ce qu'est l'intégrale. Et lors du calcul de l'intégrale (comme un contrôle en utilisant des techniques de calcul antérieures),$5$qui n'est pas la valeur de la différence entre les sommes supérieure et inférieure. Où vais-je mal?

Answer 1

Fixé $\varepsilon$ et pris $\delta$ assez petit, tu peux prendre $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
de sorte que \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} pour avoir $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ Tu dois choisir $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$