Prouver que $x^2$ n'est pas uniformément continue
Nous savons que $f(x)=x^2$ n'est pas uniformément continue en fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. En effet, laissez$\epsilon=1$. Pour toute$\delta>0$, nous pouvons choisir $\alpha>0$ assez grand pour que $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Alors si nous mettons$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ nous trouvons $|x-y|<\delta$, encore $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. D'où le$\epsilon-\delta$ la définition de la continuité uniforme est niée et que $f$ n'est pas uniformément continue.
Maintenant si $X\subset\mathbb{R}$ est un ensemble ouvert illimité, comment prouver que $f:X\rightarrow [0,\infty)$n'est pas uniformément continue? J'ai essayé de suivre une procédure similaire à celle ci-dessus, mais cela n'a pas fonctionné. La difficulté que j'ai, c'est que je ne peux pas m'assurer que$y=\alpha+\delta/2\in X$, car $X$ pourrait être un ensemble ouvert illimité avec des intervalles ouverts plus étroits comme $x$ augmente, par exemple $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$
Compte tenu de ce qui précède, existe-t-il un moyen de modifier la preuve ci-dessus pour le $f:X\rightarrow [0,\infty)$Cas? Je ne suis pas intéressé à simplement recevoir une preuve, mais je voulais savoir comment ma preuve pourrait être modifiée, ou si elle ne pouvait tout simplement pas être modifiée dans ce cas.
Réponses
Ce n'est pas vrai. Considérer$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Notez si$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, puis $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Donné $\epsilon > 0$, choisissez $N > \frac3\epsilon$. Si$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, et $|x-y| < \tfrac12$, puis $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Et depuis$f(x)$ est uniformément continue sur $[0,N+1]$, nous pouvons trouver $\delta > 0$ et $\delta < \tfrac12$ tel que si $x,y \in [0,N+1]$, puis $|x-y| < \delta$ implique $|f(x) - f(y) < \epsilon$.