Prouver que $x^2$ n'est pas uniformément continue

Aug 19 2020

Nous savons que $f(x)=x^2$ n'est pas uniformément continue en fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. En effet, laissez$\epsilon=1$. Pour toute$\delta>0$, nous pouvons choisir $\alpha>0$ assez grand pour que $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Alors si nous mettons$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ nous trouvons $|x-y|<\delta$, encore $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. D'où le$\epsilon-\delta$ la définition de la continuité uniforme est niée et que $f$ n'est pas uniformément continue.

Maintenant si $X\subset\mathbb{R}$ est un ensemble ouvert illimité, comment prouver que $f:X\rightarrow [0,\infty)$n'est pas uniformément continue? J'ai essayé de suivre une procédure similaire à celle ci-dessus, mais cela n'a pas fonctionné. La difficulté que j'ai, c'est que je ne peux pas m'assurer que$y=\alpha+\delta/2\in X$, car $X$ pourrait être un ensemble ouvert illimité avec des intervalles ouverts plus étroits comme $x$ augmente, par exemple $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

Compte tenu de ce qui précède, existe-t-il un moyen de modifier la preuve ci-dessus pour le $f:X\rightarrow [0,\infty)$Cas? Je ne suis pas intéressé à simplement recevoir une preuve, mais je voulais savoir comment ma preuve pourrait être modifiée, ou si elle ne pouvait tout simplement pas être modifiée dans ce cas.

Réponses

4 StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 11:04

Ce n'est pas vrai. Considérer$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Notez si$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, puis $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Donné $\epsilon > 0$, choisissez $N > \frac3\epsilon$. Si$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, et $|x-y| < \tfrac12$, puis $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Et depuis$f(x)$ est uniformément continue sur $[0,N+1]$, nous pouvons trouver $\delta > 0$ et $\delta < \tfrac12$ tel que si $x,y \in [0,N+1]$, puis $|x-y| < \delta$ implique $|f(x) - f(y) < \epsilon$.