Prouvez que la topologie du produit dans $\Bbb C^n$ est égal à l'habituel

Question

Il est donc bien connu que la fonction $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ défini par la condition

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

pour toute $x,y\in\Bbb C^n$est un produit intérieur. Je demande donc de prouver que la topologie du produit sur$\Bbb C^n$ induit par le produit intérieur $\tau_1$ est égal à la topologie $\tau _n$comme défini ci-dessus. Je précise que j'ai besoin de ce résultat pour montrer que les fonctions linéaires entre deux espaces vectoriels topologiques sont continues et ainsi montrer que toutes les topologies dans un espace vectoriel topologique de dimension finie sont équivalentes et donc je demande courtoisement de ne pas donner ce qui vient d'être dit comme réponse. Alors quelqu'un pourrait-il m'aider, s'il vous plaît?

Answer 1

La topologie du produit est générée par la norme

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ où $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Dénoter

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ nous avons

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ ce qui permet de conclure au résultat souhaité.