Prouvez que le périmètre du triangle $MNC$ est égal à la moitié du périmètre du triangle $ABC$

Question

Dans $ABC$ triangle équilatéral. $K$ est le milieu de $AB$. $M$ et $N$ mentir $AC$ et $BC$respectivement. Si$\angle MKN=60°$, puis prouvez que le périmètre de $\triangle MNC$ est égal à la moitié du périmètre de $\triangle ABC$.

Answer 1

Regardez d'abord l'image de gauche.

Miroir $N$ par rapport à $CK$, laisse faire $N'$. Nous remarquons que$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Par conséquent$MKNN'$sont co-cycliques. Par conséquent$\triangle MKN$image miroir de $CK$ partage le même cercle avec $\triangle MKN$. Par conséquent, le centre de$\triangle MKN$le cercle circulaire de $CK$.

Dessinez maintenant les bissectrices d'angle de $\angle CMN, \angle CNM$ et laissez-les se rencontrer à $I$. Évidemment$I$ se trouve sur la troisième bissectrice $CK$. Depuis$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$sont co-cycliques. De plus, en combinant avec le résultat du paragraphe précédent, nous savons$IK$est un diamètre de ce cercle. Par conséquent$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.

Par conséquent $MK$ coupe l'angle extérieur en deux $\angle AMN$ et $NK$ coupe l'angle extérieur en deux $\angle BNM$.

Maintenant, regardez la bonne image. Tracez le cercle tangent à$AM,MN,NB$ et que son centre soit $O$. Nous remarquerons que$MO$ coupera l'angle $AMN$ et $NO$ coupera l'angle $BNM$ alors $O$ et $K$ sont essentiellement le même point.

Maintenant, il est facile de voir le périmètre de $\triangle CMN$ est le même que $CP+CQ$, soit la moitié du périmètre de $\triangle ABC$. (Car$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ et ainsi $BQ$)

Answer 2

Je pense avoir résolu le problème les gars!

Prenons le point $P$ à côté $BC$ où $\angle NKP=60°$. Alors prenez le point$T$ à la ligne PK où $PK=KT$. Triangles$BKP$ et $ATK$sont congruents. Alors$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Remarquerez que$AMKT$est un cercle circulaire. Alors$\angle TAK=\angle TMK$. Donc$TMK$ est un triangle équilatéral.

Maintenant, nous pouvons être sûrs que les triangles $MKN$ et $NKP$sont congruents. Alors$MN=NK$. Par le théorème de Ptolémée, on obtient que$AM+AT=AK$. N'oubliez pas non plus que$BP=AT$.

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.