Quand la périodisation d'une fonction est-elle continue?
Considérons une fonction $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, où $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$désigne l'espace des fonctions continues bornées disparaissant à l'infini . Je suis intéressé par$T$-périodisation d'une telle fonction, définie comme:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$Comme expliqué dans Fischer - Sur la dualité des fonctions discrètes et périodiques ,$f_{T}$ est un $T$-distribution tempérée périodique si$f$est une fonction en décroissance rapide - c'est-à-dire disparaissant à l'infini plus rapidement que n'importe quel polynôme.
Ma question concerne la régularité de $f_T$:
Pour quelles fonctions $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ est la fonction généralisée périodisée $f_{T}$défini au-dessus d'une fonction ordinaire et continue ?
En d'autres termes, quelles devraient être les hypothèses sur $f$ pour que sa périodisation soit continue?
N'importe quelle piste serait grandement appréciée. Merci beaucoup d'avance!
Réponses
Tu as juste besoin de ça $f$diminue assez rapidement pour rendre la série uniformément convergente sur des ensembles compacts. Par exemple, il suffirait que$|x|^p |f(x)|$ est limité pour certains $p>1$. Ensuite, vous pouvez estimer les termes de la série uniformément sur un intervalle compact$[-a,a]$ pour $nT>2a$ par $cn^{-p}$ avec une constante $c$.
Réponse courte : par exemple pour les fonctions Schwartz .
Réponse longue : La transformée de Fourier de «périodique» est «discrète» et la transformée de Fourier de «discrète» est «périodique». Il s'agit d'un mappage un à un. Il est expliqué dans ce Fischer - Sur la dualité des fonctions discrètes et périodiques .
De manière analogue, la transformée de Fourier de «régulière» est «locale» et la transformée de Fourier de «local» est «régulière». C'est un autre mappage un-à-un. Il est expliqué dans Fischer - Sur la dualité des fonctions régulières et locales .
Le terme «régulier» fait référence à des fonctions ordinaires, infiniment différentiables, qui ne croissent pas plus vite que les polynômes. Ces fonctions (régulières) sont des opérateurs dits de multiplication pour les distributions tempérées. Leur produit de multiplication avec n'importe quelle distribution tempérée est encore une distribution tempérée.
Le terme «local» fait référence à des distributions tempérées qui sont «locales», c'est-à-dire qu'elles se désintègrent rapidement jusqu'à zéro (plus rapidement que les polynômes). Ces fonctions (généralisées) sont des opérateurs dits de convolution pour les distributions tempérées. Leur produit de convolution avec n'importe quelle distribution tempérée est à nouveau une distribution tempérée.
Les propriétés de "regular" et "local" satisfont un théorème de convolution sur les distributions tempérées .
Maintenant, les propriétés de "périodique", "discret", "régulier" et "local" peuvent être combinées. Par exemple, «locale + régulière» sont des fonctions de Schwartz et la transformée de Fourier des fonctions de Schwartz sont, encore une fois, des fonctions de Schwartz («locale + régulière»). De plus, la transformée de Fourier du «périodique discret» est à nouveau «périodique discret». Il donne la transformée de Fourier discrète (DFT) .
Or, la condition préalable pour les fonctions généralisées qui peuvent être périodisées est qu'elles soient «locales» et la condition préalable pour les fonctions généralisées qui peuvent être discrétisées est qu'elles soient «régulières».
Donc, pour revenir à la question initiale , pour périodiser une fonction (ordinaire ou généralisée), elle doit être "locale" et pour lui permettre d'être une fonction ordinaire, elle doit être "régulière". En d'autres termes, les fonctions Schwartz remplissent ces deux exigences , elles sont "régulières + locales".
Cette propriété des fonctions de Schwartz d'être à la fois «régulières» et «locales» explique leur rôle particulier en tant que fonctions de test en théorie de la distribution et en physique quantique .
Cependant, il existe une différence entre «être lisse» au sens des fonctions ordinaires et au sens des fonctions généralisées. On peut se rappeler que toute fonction généralisée est lisse (infiniment différentiable) et, par conséquent, «continue». Pour répondre à cette question au sens des fonctions ordinaires, ancrée dans la théorie des fonctions généralisées, il y a plus de fonctions à côté des fonctions de Schwartz. La fonction rectangulaire , par exemple, est lisse au sens des fonctions généralisées, mais pas lisse au sens des fonctions ordinaires. Cependant, sa périodisation donne la fonction qui est constamment 1 pour T convenable qui est une fonction ordinaire régulière (en particulier continue). Donc, évidemment, les fonctions qui sont continues sur un intervalle [-T / 2, + T / 2] et telles que f (-T / 2) = f (+ T / 2) remplissent également l'exigence.