Que se passe-t-il avec les énergies des états limites dans un puits carré infini si nous mettons un petit pas potentiel dans le milieu?

Question

Je me demande comment (qualitativement) les énergies des états limites dans un puits carré infini avec un petit pas potentiel au milieu changent si nous changeons cette étape potentielle. Le problème est en fait assez similaire à ce post , mais j'aimerais surtout savoir comment les écarts entre les énergies changent, si on change la hauteur ou la largeur du pas potentiel.

J'ai essayé de trouver une formule pour les énergies en résolvant le problème indépendant du temps, mais je n'ai pas pu trouver de solution claire (cela ressemblait plus à une équation transcendantale mais j'ai peut-être commis des erreurs).

Answer 1

La résolution analytique des énergies de ce système implique la résolution numérique d'une équation transcendantale, si ma mémoire est bonne. Il n'y a rien de mal à cela, mais il peut être un peu difficile de voir clairement les influences des différents paramètres sur le résultat.

Une approche différente consiste à traiter ce problème avec la théorie des perturbations. Puisque vous supposez que la hauteur de marche est petite$^\dagger$, un bon début serait de calculer les corrections de premier ordre des valeurs propres d'énergie.

Explicitement, laissez votre hamiltonien être $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ left [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ right]$\\0 & else}$$

C'est l'hamiltonien pour un puits potentiel infini avec un pas potentiel de largeur $a$ et hauteur $\lambda$dans le centre. Pour la première commande dans$\lambda$, les énergies corrigées sont simplement $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ où $E_n^{(0)}$ et $\psi_n^{(0)}$sont les énergies non corrigées et les vecteurs propres (normalisés), respectivement. Nous savons déjà ce que ceux-ci proviennent de la solution élémentaire du potentiel infini, donc en évaluant cette intégrale, vous pouvez voir comment ces énergies changeront lorsque vous introduirez le pas - au moins tant que la hauteur du pas est petite.

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$^\dagger$Ce que cela signifie pour un opérateur d'être petit peut être un problème subtil. Dans ce cas, nous voudrions que$\lambda$être beaucoup plus petite que la valeur attendue de l'hamiltonien non perturbé dans n'importe quel état d'intérêt. Dans ce cas, cela serait accompli si

$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$

Si $\lambda$ dépasse cette limite, alors la correction de premier ordre ne sera plus une bonne approximation de la façon dont l'énergie aura changé.