Quelle est la différence entre Path $\infty$-groupoïde et fondamental lisse $\infty$-groupoïde d'un espace lisse?
Il y a quelques jours, j'ai posé une question Y a-t-il une version géométrique / lisse de l'hypothèse d'homotopie utilisant le chemin$\infty$-Groupoïde d'un espace lisse? en MO sur l'existence d'une possible version lisse / géométrique de l' hypothèse d'homotopie utilisant la notion de chemin$\infty$-groupoïde d'un espace lisse.
Après une discussion dans la section commentaires avec @David Roberts, j'ai eu le sentiment (mais pas complètement convaincu) que bien que le chemin 1-groupoïde et le 1-groupoïde fondamental lisse d'un espace lisse soient des objets assez différents mais "si nous nous déplaçons jusqu'à l'infini" et les présenter comme des complexes Kan alors ils deviennent le même objet.
Il y a 3 mois, j'ai posé la question MO suivante : Quelle est la réalisation géométrique du nerf d'un groupoïde fondamental d'un espace? .
Des discussions dans
Existe-t-il une version géométrique / lisse de l'hypothèse d'homotopie utilisant le chemin $\infty$-Groupoïde d'un espace lisse?
Quelle est la réalisation géométrique du nerf d'un groupoïde fondamental d'un espace?
maintenant j'ai les questions / doutes suivants:
Nous savons que la construction de Smooth Fundamental 1-Groupoid et Path 1-Groupoid d'un espace lisse induit des foncteurs naturels $Man \rightarrow Groupoids$. Maintenant de la discussion dans Quelle est la réalisation géométrique du nerf d'un groupoïde fondamental d'un espace? J'attends cela$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ contient toutes les informations des 1er groupes d'homotopie de l'espace lisse $X$ où $N$est le foncteur Nerve ,$\pi_{\leq 1}$est le foncteur 1-groupoïde fondamental lisse et$|-|$est le foncteur de réalisation géométrique . Maintenant, nous pouvons répéter la même procédure avec le foncteur Path 1-Groupoid$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.
Mes questions sont les suivantes:
Est $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (où "$=$"est dans un sens approprié)
Y a-t-il un moyen de présenter un chemin $\infty$-groupoïde d'un espace lisse tel qu'il est différent de Smooth Fundamental $\infty$-groupoïde de l'espace? (Pour qu'il corresponde à notre intuition pour$n=1$ Cas)
(Par "$n$"Je veux dire" Groupoids dans le niveau 1 ").
Réponses
Je ne peux que répondre à votre première question, et la réponse est non. Prends pour exemple$X=\mathbb{R}^2$, de sorte que le groupoïde fondamental est trivial, mais le groupoïde de chemin contient des flèches distinctes représentées par des cercles de chaque rayon positif passant par un point de base fixe (et bien d'autres encore). Cela ignore toutes les questions de topologie ou de structure lisse sur l'ensemble de flèches, ce qui, je pense, est votre intention. Et ainsi les réalisations géométriques des nerfs de ceux-ci ne peuvent même pas être faiblement équivalentes à une homotopie, car on est contractable et on a un groupe fondamental qui n'est même pas de génération finie.