Quelle est la matrice du logarithme de l'opérateur dérivé ( $\ln D$)? Quel est le rôle de cet opérateur dans différents domaines mathématiques?

Question

Babusci et Dattoli, Sur le logarithme de l'opérateur dérivé , arXiv: 1105.5978 , donne d'excellents résultats:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Je me demande quelle est sa matrice, ou sinon, existe-t-il une méthode pour l'appliquer à une fonction?

Quel est son rôle intuitif dans divers domaines des mathématiques?

Answer 1

Lors de la transformation de Fourier $x\mapsto k$, cela devient un opérateur diagonal avec des éléments de matrice $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Donc, pour trouver les éléments de la matrice dans le$x$-représentation nous aurions besoin d'inverser la transformée de Fourier du logarithme $\ln k$. À partir de cette réponse MSE pour la transformée de Fourier de$\ln |k|$ (avec des signes de valeur absolue) Je conclurais que $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Cette notation signifie que $\ln D$ agissant sur une fonction $f(x)$ produit une nouvelle fonction $g(x)$ donné par $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

Answer 2

L'interprétation d'un $\ln(D)$ dépend de l'interpolation que l'on choisit de l'opérateur dérivé usuel et de ses puissances entières positives à un opérateur fractionnaire integro-dérivé (FID), c'est-à-dire une $D$exponentiée par tout nombre réel (ou complexe via la continuation analytique), qui à son tour, dépend des fonctions sur lesquelles le FID doit agir. L'extension décrite ci-dessous produit trois identités B & D et est cohérente avec les propriétés que Pincherle a imposées à toute famille légitime de FID (voir ce MO-Q sur un dérivé 1/2 et ce MO-Q sur le calcul fractionnaire ). Il peut être défini par l'action sur un `` ensemble de base '' de fonctions entières dans la variable complexe$\omega$ comme

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

où $H(x)$ est la fonction d'étape Heaviside, et $\alpha$ et $\omega$ peut être n'importe quel nombre complexe avec l'identification habituelle dans la théorie des fonctions généralisées et des distributions de

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

avec $n=0,1,2,3,...$.

Notez que cela n'a pas grand-chose à voir avec une transformée de Fourier sur la ligne réelle ou tout autre pseudo-diff op / symbole associé à un tel. En particulier,$D^{\alpha}$ ici n'est PAS associé à la multiplication par $(i 2 \pi f)^{\alpha}$dans l'espace des fréquences. Ailleurs, je montre diverses répétitions convolutives équivalentes de ce FID comme 1) un FT sur un cercle via une transformation d'une intégrale de contour complexe de Cauchy régularisée, 2) la continuation analytique de la représentation intégrale de la fonction bêta d'Euler soit par une explosion en le plan complexe de l'intégrale le long du segment de droite réel ou la régularisation via la partie finie d'Hadamard ou via le contour de Pochhammer, 3) l'interpolation de Mellin de l'opérateur dérivé standard via l'action de la fonction génératrice$e^{tD_x}$, une application d'opérateur de la formule principale de Ramanujan, ou 4) une interpolation de fonction sinc / série cardinale des coefficients binomiaux généralisés.

Voyons à quel point la définition ci-dessus du FID est viable; sa connexion à un générateur infinitésimal (infinigen) du FID et des trois identités B & D; une connexion au formalisme des séquences polynomiales d'Appell Sheffer et, par conséquent, à la théorie polynomiale / fonction symétrique; et les répétitions matricielles de l'infinigène et du FID.

Si nous supposons qu'un générateur infinitésimal $IG$ existe de telle sorte que

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

puis formellement

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

et l'infinigen est

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

où $\psi(x)$ est la fonction digamma, qui peut être définie sur le plan complexe comme une fonction méromorphe et est intimement liée aux valeurs de la fonction zêta de Riemann à $s = 2,3,4,...$.

Certains représentants (qui donnent les mêmes identités qu'en B & D) sont

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

où $\lambda$ est lié à la constante d'Euler-Mascheroni via $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

D'autres représentants et d'autres moyens d'arriver aux représentants ci-dessus sont indiqués dans les références ci-dessous.

Regardons un moyen via le formalisme des séquences polynomiales d'Appell Sheffer, qui règle tous les problèmes de convergence lors de l'exponentiation de la formule de diff op explicite pour l'infinigène et permet des connexions à la théorie des polynômes / fonctions symétriques.

La séquence Appell pertinente de polynômes $p_n(z) = (p.(z))^n$ a la fonction de génération exponentielle, entière dans la variable complexe $t$, c'est-à-dire avec sa série de Taylor globalement convergente,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

avec la séquence polynomiale réciproque définie de quatre manières cohérentes $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, un egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, en termes de matrices de coefficients triangulaires inférieurs des deux séquences dans la base de puissance monôme $z^n$ avec la diagonale de l'unité,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, une inversion convolutionnelle ombrale,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, un générateur opérationnel.

Il s'ensuit que l'opération d'élévation des polynômes Appell $p_n(z)$ Défini par

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

est donné par

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

une conjugaison d'opérateur, ou 'transformation de jauge', de l'opérateur d'élévation $z$ pour les monômes de puissance.

De plus, avec le commutateur opérateur $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Maintenant, entrez à nouveau Pincherle et le dérivé de l'opérateur éponyme, que Rota vantait pour le calcul des opérateurs finis. Le dérivé de Graves-Pincherle tire sa puissance du commutateur Graves-Lie-Heisenberg-Weyl$[D_z,z] = 1$ à partir de laquelle, par réorganisation normale, implique pour toute fonction exprimée en série de puissance dans $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Ceci est un avatar du dérivé Pincherle (PD) qui découle de l'action $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

mais le PD est valable pour les opérations plus générales d'abaissement et de montée (échelle) qui satisfont $[L,R]= 1$.

Puis

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

Avec la substitution $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

L'opération de relèvement est définie de telle sorte que

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

une fonction entière pour $t$complexe; donc,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

donc

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

et nous pouvons identifier qu'en effet

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

et

$$IG = \ln(D_x).$$

Maintenant, appliquez le PD à $\ln(D)$, comme un contrôle du formalisme et une avenue vers un représentant matriciel, donnant formellement

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

Cela donne une signification explicite en évaluant le commutateur pour une fonction générale $g(x)$ analytique à l'origine (qui se généralise à notre ensemble de `` base '') en utilisant l'intégrale représentant pour $R_x = -\ln(D_x)$, donnant

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

Donc nous avons

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

et

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

impliquant

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

De plus, avec

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

ensuite

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

où

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

La série d'opérations aux différences finies est intégrée dans la dérivée $D_{\alpha =0}$de l'interpolateur Newton

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

Pour $\alpha = -m$ avec $m = 1,2,...$ et $\omega = 0$, cet interpolateur de Newton donne

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

qui concorde dans un sens distributionnel avec les résolutions polynomiales de Laguerre de $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$dans les formules de ce MO-Q puisque, avec$c_n = f_n$ dans la notation là-bas,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

avec

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

donc, pour le $m$-ème dérivé de la fonction Heaviside,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

et, par conséquent, les coefficients de la résolution en série de Laguerre du $m$-ème dérivé de la fonction Heaviside sont

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

en accord avec l'interpolateur Newton.

Postuler $D_x^{-1}$ itérativement aux deux côtés de cette identité établit des interpolations convergentes pour $\omega = 1,2,3,...$, et agissant sur la base du pouvoir dans l'expansion binomiale de $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ devrait également donner des expressions convergentes.

De même pour $\omega=0$, nous avons la transformée de Laplace (ou plus précisément la transformée de Mellin modifiée au centre de la formule principale de Ramanujan par laquelle les FID peuvent être convertis en interpolations de Mellin des dérivés standard)

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

pour $Re(\alpha) > -1$, donnant

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

Cette transformée de Laplace et, par conséquent, l'interpolateur de Newton peuvent être poursuivis analytiquement de plusieurs manières standard (par exemple, explosion de la ligne réelle au plan complexe via un contour de Hankel , partie finie d'Hadamard ) au plan complexe complet pour$\alpha$. Pour les exposants entiers négatifs, le contour de Hankel se contracte avec le contour de Cauchy habituel rep pour la différenciation. L'approche Hadamard-partie finie permet à l'interpolateur de Newton d'être modifié de manière appropriée bande par bande pour donner les résultats escomptés.

Revenir à la différence finie représentant pour $\ln(D_x)$, l'action de l'infinigène sur 1 donne alors, pour $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

où $L_n(x)$ sont les polynômes de Laguerre, en accord avec la première équation de B & D de la question.

Tracés des résultats d'évaluation de la série d'opérateurs tronqués à $n=80$, ou alors, agissant sur $x^2$ et $x^3$ correspondre également aux résultats analytiques.

Le représentant de la matrice $M$ de l'action de cette opération d'intégration $D_x^{-1}$ au $x^n$ est assez simple dans la base de puissance - une matrice avec tous les zéros sauf pour la première sous-diagonale, ou superdiagonale, en fonction de la multiplication de la matrice gauche ou droite, avec des éléments $(1,1/2,1/3,...)$.

Le représentant de la matrice pour $R_x$ est alors

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Exponentiateur,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

Le représentant matriciel associé est

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(Je n'ai pas vérifié ces calculs matriciels numériquement comme je le ferais normalement puisque mon disque MathCad est stocké dans un autre état.)

Pour agir sur des puissances non entières de $x$, vous devez les représenter comme des superpositions de la base de puissance entière comme dans le développement binomial

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Sinon, retournez à la $z$ rep et notez le représentant de la matrice de l'opération de relèvement $R_z$. Il s'agit d'une simple transformation de la matrice Pascal triangulaire inférieure infinie augmentée d'une première superdiagonale de toutes. OEIS A039683 a un exemple de l'équivalent de matrice d'une opération d'élévation dans la base de puissance monôme, également connue sous le nom de matrice de production dans une autre approche (Riordan ™) de séquences polynomiales. Mieux vaut dans ce cas passer à la base de puissance divisée$z^n/n!$. Ensuite, la matrice de Pascal augmentée devient la simple matrice de sommation de tous. Multipliez le long de la n-ième diagonale par$c_n$ où $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ pour générer la matrice représentant pour l'opération de relèvement, mais depuis, par exemple, $x^2=e^{2z}$, cela devient rapidement un algorithme compliqué à appliquer par rapport à la différence finie rep.

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Autres références (non exhaustives):

1. Riemann zêta et calcul fractionnaire, un MO-Q
2. Fonction Digamma / Psi, Wiki
3. OEIS A238363 sur le journal de l'opérateur dérivé
4. OEIS A036039 sur les polynômes d'indice de cycle et les fonctions symétriques
5. Fonctions Zeta et polynômes d'indice de cycle, un MO-Q
6. Sur la montée en puissance des FID, un MSE-Q
7. OEIS A132440 sur une matrice infinigen
8. OEIS A263634 sur les répétitions polynomiales de partition pour les opérations de relèvement Appell
9. Ref pour un autre interp d'un log d'un dérivé, un pdf
10. Interpolation / suite analytique des factorielles au gamma fct, MSE-Q
11. Raising Ops for Appell Séquences, un article de blog
12. Exemple d'interpolation Mellin de $e^{tD}$, MO-Q
13. En savoir plus sur l'interpolation / la poursuite analytique des opérations différentielles, un article de blog
14. Deux suites analytiques des coefficients d'une fonction génératrice, MO-Q
15. FID et fonctions hypergéométriques confluentes, un MO-Q
16. Note sur le dérivé Pincherle, un article de blog
17. FID et interpolation des coefficients binomiaux, un article de blog
18. FID, interpolation et ondes progressives, un article de blog