Quelle est la raison de $dT/dh = 0$ dans la colonne de gaz?
Selon la thermodynamique, chaque système adiabatique et (sans énergie externe ajoutée) atteindra l'équilibre thermodynamique ou un état ergodique (2 loi d'entropie thermodynamique ne peut pas diminuer dans un système fermé). Indiquez à quelle température (ou énergie cinétique moyenne des particules) sera la même partout. La réponse à la question doit donc être simple et directe$dT/dh = 0$.
Mais est-ce le cas?
Ouvrons https://en.wikipedia.org/wiki/Lapse_rate page sur Wikipedia et verra que le système adiabatique créera et supportera toujours le dégradé $$dT/dh < 0$ et égal à une constante.
On peut soutenir que c'est parce que ce système n'atteint pas l'équilibre et ne se détend pas beaucoup. Mais regardez le calcul, si une relaxation supplémentaire a eu lieu, le gradient doit décroître et atteindre 0 à un moment donné, mais ce n'est pas le cas.
On peut argumenter et dire que le gradient ok est là mais il n'y a pas de contradiction avec la deuxième loi. Mais une expérience de pensée menée par Maxwell avec deux colonnes de gaz différents. Il a montré que si les calculs sont corrects, des gradients de magnitude différente seront générés dans ces colonnes. Et donc, dans un système où ces deux colonnes de gaz sont isolées partout sauf en haut, il y aura certainement un flux de chaleur d'un corps plus froid vers un corps plus chaud.
De plus, parce que le gradient existe, la distribution de Boltzmann est erronée.
Il est simplement frappant de voir comment deux affirmations aussi contradictoires, à savoir l'universalité de la deuxième loi de la thermodynamique et le gradient dans la colonne de gaz dans le champ gravitationnel, peuvent coexister, c'est de la schizophrénie pure.
J'ai également créé un modèle de calcul simple qui montre clairement que le taux de déchéance adibatique sur lequel vous pouvez le trouver https://github.com/MaratZakirov/playground/blob/master/ideal_gas.py ou dans la réponse à cette question.
Ici, je liste quelques résultats que j'ai faits en discutant de cette question et en créant mon modèle:
Si vous considérez les collisions de particules de gaz parfaites, cela conduit toujours à un simple échange de vitesse (berceau de Newton par analogie), cette affirmation peut être facilement prouvée mathématiquement, car les masses sont les mêmes et les collisions sont rigides et le rayon de la particule est négligeable. C'est la vraie raison pour laquelle il ne faut pas prendre en compte les collisions de gaz parfaites car cela n'introduit pas dans le modèle de nouvelles propriétés.
Malgré le fait que Boltzmann et d'autres ont dérivé leurs distributions pour un gaz parfait, impliquant la propriété d'ergodicité du système, en réalité il n'y a pas de mélange d'énergie pour le modèle de gaz idéal et les collisions de particules n'aideront pas du tout ici (voir le paragraphe précédent ). En réalité, il faut une certaine entité qui mélangerait les énergies des particules et j'ai introduit une telle entité, et juste après cela, le gradient s'est manifesté dans toute sa gloire.
Réponses
Apparemment pas clair, le point clé est qu'un système à l'équilibre (avec ou sans champ externe) doit avoir la même température partout. À défaut, il y aurait un flux d'énergie net entre les parties les plus chaudes et les plus froides du système, violant l'hypothèse d'équilibre thermique.
La déclaration ci-dessus est un fait de thermodynamique de base et peut être facilement dérivée par le principe maximum de l'entropie. C'est donc une conséquence du deuxième principe de la thermodynamique.
Le profil de température de l'atmosphère ne peut pas être utilisé comme un contre-exemple: l'atmosphère n'est pas un système à l'équilibre.
Et la simulation numérique?
Il n'est pas surprenant qu'un gaz parfait n'obtienne pas l'équilibre thermique. Le gaz parfait n'a aucun mécanisme pour s'équilibrer. C'est un système non ergodique, et il est inutile pour les simulations numériques de systèmes thermodynamiques. Une certaine interaction entre les particules doit être présente pour avoir un véritable système thermodynamique. Le gaz parfait doit être considéré comme un comportement limitant des systèmes réellement en interaction.
Pour clarifier les commentaires précédents, permettez-moi de résumer quelques faits sur l'interaction entre l'ergodicité et le comportement thermodynamique. Remarquez que j'essaie de transmettre les principales idées physiques plus que d'essayer d'obtenir la meilleure formulation mathématique des mêmes concepts.
Une propriété clé de tout système thermodynamique est sa capacité à se détendre vers l'équilibre s'il est isolé et pas initialement à l'équilibre. Un tel comportement est assuré si la dynamique du système est suffisamment désordonnée pour garantir que toutes les fonctions de corrélation temporelle pertinentes entre les quantités observables décroissent à zéro pendant le temps expérimental d'observation. Autrement dit, un système thermodynamique perd la mémoire de son état initial. Formellement, une telle propriété de la dynamique est appelée mélange . Si un système dynamique, le mixage est également ergodique . L'ergodicité est une condition plus faible que le mélange. On peut affirmer comme propriété que pour presque toutes les conditions initiales, la trajectoire du système dans l'espace des positions / vitesses (l'espace des phases) visite toutes les parties de l'espace des phases dans lesquelles le système se déplace. Un résultat important de la théorie des systèmes dynamiques est cette dynamique de mixage est également ergodique. Inversement, un système non ergodique ne peut pas être mélangé.
Que le gaz idéal ne soit pas ergodique peut être clair en pensant à une simple condition initiale: une boîte cubique, la moitié des particules sont au repos, et la moitié ont la même vitesse. Une partie de l'espace de phase disponible ne sera jamais visitée par un tel système. De plus, le sous-système des particules au repos a une température nulle et le reste une température finie. De toute évidence, il ne s'agit ni d'un système ergodique ni d'un système à l'équilibre thermodynamique.
Pour obtenir un système de mélange, il suffit d'ajouter une interaction encore petite entre les particules ou avec les parois pour introduire une dynamique suffisamment chaotique pour récupérer la propriété de mélange. Dans un système de mélange, on peut commencer avec n'importe quelle distribution de vitesse, et en attendant suffisamment, il est possible d'obtenir un système bien équilibré dans un système en interaction.
Je remarque également que ni Maxwell-Boltzmann ni la distribution uniforme ne sont la distribution de vitesse correcte à l'équilibre dans un système isolé. Même si l'on part d'une distribution, la distribution de vitesse évoluera vers les valeurs d'équilibre correctes après un certain temps de relaxation, en fonction de l'état thermodynamique. Le suivi de l'évolution temporelle de la distribution des vitesses devrait suffire à montrer le phénomène, du moins en partant d'une distribution uniforme. Puisque la distribution de vitesse microcanonique et Maxwell-Boltzmann sont très proches pour un système de quelques milliers de particules, je ne pense pas qu'il serait facile de remarquer la différence. Cependant, une mesure minutieuse de la température à différentes hauteurs devrait suffire. De plus, il est également important pour ce type d'étude d'estimer l'erreur statistique sur les résultats avant qu'une conclusion quantitative ne puisse être tirée.
le PO ne dit pas ce qu'il entend par «son équation» mais je suppose que la question du PO porte sur la loi de Boltzmann $$ \rho(h)\propto e^{-mgh/kT} $$ pour le profil de densité d'une atmosphère isotherme, et non sur l'équilibre thermique. Cette simple loi de densité atmosphérique suppose que l'atmosphère est isotherme
Il n'y a aucune raison pour que la distribution dans une colonne atmosphérique réelle soit isotherme. En effet, dans la partie inférieure de l'atmosphère terrestre où elle est agitée par convection, la température baisse avec la hauteur à peu près au taux de déchéance adiabatique . En effet, si une parcelle d'air monte dans une zone de pression inférieure, elle se dilate et se refroidit ainsi. De même, un colis descendant est compressé et devient plus chaud.
Bien entendu, une température non uniforme n'est pas en équilibre thermique , seulement en équilibre mécanique. Pour l'équilibre thermique, on ne suppose pas que la température est constante, on peut le prouver dans des paramètres mécaniques statistiques appropriés.