Quelle est la relation entre Lipschitz et $BMO$ les espaces?

Question

Laisser $0 < \alpha < 1$. L'espace$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ des fonctions continues Lipschitz avec commande $\alpha$ est

$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ La plus petite de ces constantes $C$ s'appelle le $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ norme de $f$ et est désigné par $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.

Cette norme a la représentation intégrale suivante:

$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ où $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. Il est clair que pour$\alpha=0$ le côté droit est la définition de $BMO$ norme de $f$.

D'après ces faits, pouvons-nous dire que l'espace de Lipschitz comprend $BMO$espace? Quelle est la relation entre Lipschitz et$BMO$ les espaces?

Answer 1

Je vais définir un tas d'espaces qui décrivent tous des fonctions de "régularité $\alpha$" en quelques sortes.

Espaces Hölder: Ici$\alpha$ sera en $[0,1]$. Définir$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ être l'espace de toutes les fonctions $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tel que $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ pour certains $C>0$ indépendant de $x,y \in \Bbb T^n$. La plus petite de ces constantes$C$ s'appelle le Seminorm Holder, désigné par $[f]_{\alpha}$. La norme spatiale de Banach sur$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ est défini par $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Notez que lorsque $\alpha = 0$ nous avons juste $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. On peut décrire de manière équivalente$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ comme ensemble de fonctions $f$ tel que $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ pour tous les cubes $Q \subset \Bbb T^n$, où $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, et $|Q|$ est la mesure de Lebesgue de $Q$. (Il est difficile de prouver cette équivalence.)

Espaces Besov: Ici$\alpha$peut être n'importe quel nombre réel. Toute fonction$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$admet une décomposition canonique appelée décomposition Littlewood-Paley $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. L'espace Besov$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ se compose de ces fonctions $f$ tel que $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ pour certains $C$ qui est indépendant de $j$. La plus petite constante$C$pour laquelle l'inégalité tient est appelée la norme de Besov. Cela induit une structure d'espace de Banach sur$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. L'espace$B^1_{\infty,\infty}$s'appelle la classe Zygmund et est décrite de manière équivalente comme l'ensemble de toutes les fonctions$f$ tel que $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ et $B^0_{\infty,\infty}$ se compose des dérivées distributionnelles de fonctions de la classe Zygmund.

Espaces BMO: ici$\alpha$ sera en $[0,1]$. Définissons l'espace$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ être l'espace de toutes les fonctions $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tel que $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, où le sup est sur tous les cubes $Q\subset \Bbb T^n$, et $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, et $|Q|$ est la mesure de Lebesgue de $f$. La norme sur$BMO_{\alpha}$ est défini comme étant ce supremum, ce qui en fait un espace de Banach.

Espaces fonctionnels continus: ici$\alpha=:k$ doit prendre des valeurs dans $\Bbb N$. ensuite$C^{k}(\Bbb T^n)$ est défini comme l'ensemble de toutes les fonctions $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ telle que toutes les dérivées partielles d'ordre jusqu'à $k$sont continus. La norme est définie comme étant la somme des normes uniformes de toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre$k$. Encore une fois, nous obtenons un espace Banach.

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Alors maintenant, la question est: comment tous ces espaces sont-ils liés?

Théorème 1: Si$\alpha \in (0,1)$ puis $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Toutes les normes sont équivalentes.

Théorème 2: Pour$\alpha = 0$ nous avons les inclusions suivantes: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Aucune des normes n'est donc équivalente. Pour$\alpha=1$ nous avons la séquence correspondante des inclusions propres.

Fondamentalement, les équivalences du théorème 1 se résument toujours à un calcul sur des blocs dyadiques. Ils échouent pour$\alpha=0$ en raison du fait que la série $\sum 2^{-\alpha n}$ diverge pour $\alpha=0$.

Désolé si cela n'était pas clair. Essayera de mettre à jour avec des références.