Quelle est la signification de «en raison de la symétrie des coefficients, si $x=r$ est un zéro de $x^4+x^3+x^2+x+1$ puis $x=\frac1r$ est aussi un zéro »
J'étudiais cette réponse sur l'affacturage $x^4+x^3+x^2+x+1$:
https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1
L'auteur dit: «Une approche algébrique plus claire consiste à remarquer qu'en raison de la symétrie des coefficients, si $x=r$ est un zéro de $x^4+x^3+x^2+x+1$ puis $x= {1\over r}$ est aussi un zéro "
Et finalement il écrit $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$
Question $1$: Quelle est la signification de la symétrie des coefficients?
Question $2$: Pouvons-nous faire la même approche pour $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Je pose la question car elle est pertinente par rapport à mon autre question: problème d'affacturage$x^4-x^3+x^2-x+1$)
Réponses
La liste des coefficients de$$x^4+x^3+x^2+x+1$$est $(1,1,1,1,1)$, qui est symétrique (si vous l'inversez, vous obtiendrez la même liste). En d'autres termes, c'est une liste du type$(a,b,c,b,a)$. Et si$r(\ne0)$ est une racine de$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$puis$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$et donc$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$aussi; en d'autres termes,$\frac1r$ est aussi une racine de $(1)$. Donc, à moins que l'une des racines ne soit$\pm1$ (qui sont les seuls nombres égaux à leurs propres inverses), $(1)$peut être écrit comme \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ gauche (r + \ frac1r \ droite) x + 1 \ droite) \ gauche (x ^ 2- \ gauche (r '+ \ frac1 {r'} \ droite) x + 1 \ droite). \ end {multline}
En particulier, $x^4-x^3+x^2-x+1$ peut être écrit comme$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Pour trouver $a$ et $b$, résolvez le système$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$
Pour répondre à la question initiale, le processus de réflexion se déroule comme suit:
(1) Si $r$ est une solution pour $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, puis $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.
(2) Divisez les deux côtés par $r^4$ vous obtenez $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Par conséquent$1\over r$ est également une solution.
(3) Donc si $(x-r)$ est un facteur du polynôme alors $(x-{1\over r})$ est également un facteur.
(4) Par conséquent, l'équation peut être écrite comme $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$
(5) Par conséquent, il peut être écrit comme $(x+ax+1)(x+bx+1)$