Quelle est la valeur qui fait la longueur minimale de l'intervalle de confiance?

Aug 18 2020

Une variable aléatoire $X$ suit $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$

Je considère un intervalle de confiance de $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.

Quand je fixe le niveau de confiance à $1-\alpha$, quelles sont les valeurs de $b$ et $c$ ce qui rend la longueur minimale de l'intervalle de confiance $d=b+c$?


Ce que j'ai trouvé

La question précédente portait sur la probabilité de $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$

et j'ai facilement la réponse $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$

Je pense que si j'ai besoin d'un intervalle de confiance de $/theta$, J'ai besoin de régler $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ mais je ne connais pas le PDF de $\theta$. C'est là que je suis resté coincé.

Quelqu'un peut-il m'aider?

Réponses

1 user295357 Sep 03 2020 at 19:44

Puisque le pdf que vous avez fourni est un pdf conditionnel de X sous θ donné, il est possible de dériver l'intervalle de confiance (IC) de X sous θ donné, mais pas l'IC de θ.

Au contraire, si le pdf de f (θ | x) est donné par la même expression, alors l'IC le plus court de θ peut être dérivé comme S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)].

1 Ben Sep 04 2020 at 07:13

Il y a une erreur dans votre résultat de probabilité (ce qui devrait être clair par le fait qu'il est illimité). Utilisation de l'intervalle$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ vous devriez avoir la probabilité de couverture:

$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

(Observez que, contrairement à votre résultat, celui-ci approche de l'un lorsque $b \rightarrow \infty$ ou $c \rightarrow \infty$.) Ainsi, trouver l'intervalle de confiance optimal de ce formulaire vous oblige à résoudre le problème d'optimisation suivant:

$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$

Avec un peu de travail, il devrait être possible pour vous de montrer que l'optima se produit lorsque $b=c$, de sorte que l'intervalle de confiance optique est un avec le point médian à $x$. Ceci n'est pas surprenant, étant donné que la distribution de Laplace est symétrique autour du paramètre moyen$\theta$.