Quels sont les ellipsoïdes de John pour une paire d'ensembles convexes (9 et 15 dimensions) de $4 \times 4$ matrices positives-définies?
Quels sont les ellipsoïdes de John ( JohnEllipsoid ) pour les ensembles convexes de 9 et 15 dimensions ($A,B$) de $4 \times 4$Matrices (hermitiennes) symétriques (hermitiennes) définies positivement, trace-1 (dans le langage de l'information quantique, les ensembles de «matrices de densité» «à deux rebit» et «à deux qubit» [ DensityMatrices ], respectivement)? (Ces corps sont-ils "symétriques au centre", dans le sens d'un aspect du théorème sous-jacent JohnTheorem ?)
De plus, quelle est la relation (intersections,…) de ces ellipsoïdes avec les sous-ensembles convexes importants de $A$ et $B$ composé de ces matrices qui restent définies positives sous l'opération (pas complètement positive) de transposition partielle - par laquelle les quatre $2 \times 2$ blocs de la $4 \times 4$les matrices sont-elles transposées en place? (Il a été établi [ MasterLovasAndai ] que les fractions de volume euclidien occupées par ces sous-ensembles convexes "PPT" [positif-partiel-transposable / séparable / non enchevêtré] sont$\frac{29}{64}$ pour $A$ et $\frac{8}{33}$ pour $B$.)
Aussi, quelle est la relation ultérieure de ces ellipsoïdes avec les "inspheres" (les boules maximales inscrites dans $A$ et $B$[ SBZ ])? Les inspecteurs se trouvent également dans les ensembles PPT. Les ellipsoïdes et les inspirations de John pourraient-ils simplement coïncider?
De plus, quels pourraient être les ellipsoïdes John eux-mêmes pour ces ensembles PPT?
Il existe un concept intéressant d '«ellipsoïde directeur», évoqué dans la citation suivante p. 28 [SteeringEllipsoid] :
Pour les états à deux qubits, les états conditionnels normalisés Alice peuvent diriger le système de Bob pour former un ellipsoïde à l'intérieur de la sphère de Bob's Bloch, appelé ellipsoïde directeur (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014) ).
Cependant, la "sphère de Bloch" est tridimensionnelle, donc l'ellipsoïde directeur d'un état à deux qubits ne peut pas être l'ellipsoïde de John (15 dimensions) demandé ci-dessus.
Bien sûr, la question de savoir quels sont les ellipsoïdes de John peut être posée pour les ensembles convexes de $m \times m$ symétrique et $n \times n$ Matrices de densité hermitiennes (définies positives, trace 1) ($m,n \geq 2$). Pour$m,n=2$, les réponses semblent triviales, à savoir les ensembles convexes eux-mêmes. Pour$m,n =3$, cela semble peut-être non trivial. Uniquement, cependant, pour les valeurs composites de$m,n$, avons-nous des questions subsidiaires concernant les sous-ensembles convexes d'états PPT.
L'article de Wikipédia donné par le premier hyperlien ci-dessus décrit
«l'ellipsoïde de volume maximal inscrit comme l'ellipsoïde de Löwner – John interne».
[ DensityMatrices ]: Slater - Une formule concise pour les probabilités de séparabilité Hilbert – Schmidt généralisées à deux qubits
[ JohnTheorem ]: Howard - Le théorème de l'ellipsoïde de John
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai et formules équivalentes vérifiant le$\frac8{33}$ probabilité de séparabilité Hilbert – Schmidt à deux qubits et conjectures associées à valeurs rationnelles
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson et Życzkowski - Sur la structure du corps des états à transposition partielle positive
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen et Gühne - Pilotage quantique
Réponses
Commençons par deux formules apparemment pertinentes. Le premier est pour le volume d'un$k$-ellipsoïde dimensionnel [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {equation} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {équation} où le$a_i$Les s sont les longueurs des demi-axes.
L'autre est pour le volume de l'ensemble de $m \times m$matrices symétriques définies positives de trace 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {equation} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {m! \ Gamma \ gauche (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ droite)}. \ end {équation}
Pour le cas («deux rebit») $m=4$ ($k=9$) d'intérêt immédiat, la formule donne \ begin {équation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ environ 0,0016106. \ end {équation}
Ainsi, la question qui nous intéresse particulièrement est de savoir quelle proportion de ce volume est occupée par l'ellipsoïde interne de Lowner-John pour l'ensemble convexe de l'ensemble indiqué à 9 dimensions de $4 \times 4$(densité) matrices. De plus, quelle est son ampleur par rapport à$\frac{29}{64}$, la fraction établie par Lovas et Andai pour la probabilité de séparabilité - de manière équivalente, PPT - des états à deux rebit? Aussi, en comparaison avec le volume de l'insphere (pour lequel nous n'avons pas de calcul présent immédiat).
Donc, pour aborder ces questions, nous avons généré des paires de «matrices de densité à deux rebit» générées aléatoirement (sec, 4, RandomDensityMatrices ), en utilisant les méthodes de Ginibre-ensemble. Ensuite, nous avons pris les valeurs absolues de leurs différences et nous les avons divisées par 2. Neuf entrées indépendantes (trois diagonales et les six supérieures hors diagonales) de la matrice résultante ont été prises comme demi-axes.
À ce stade, nous avons généré près de seize millions de ces paires. La paire de$4 \times 4$ matrices de densité pour lesquelles nous avons trouvé le volume ellipsoïde maximal associé, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (seulement 0,0000432642 sur $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), jusqu'ici \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {equation} et \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {equation} La moitié des différences absolues pour ces deux matrices des trois premières entrées diagonales et des six entrées supérieures hors diagonale sont utilisées comme neuf demi-axes dans la première formule donnée ci-dessus.
Signalons également qu'il existe une approche alternative - mais équivalente à certains facteurs de normalisation - pour calculer les volumes de $m \times m$matrices de densité ( AndaiVolume ). Andai, cependant, a limité son attention$2 \times 2$ Cas hermitien, et n'a pas donné d'alternative explicite à la formule de volume de Zyczkowski et Sommers présentée ci-dessus - donc, à ce stade, nous ne sommes pas sûrs de la forme que cela prendrait.