Rang d'un groupe fini et ses représentations
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Laisser $G$ être un groupe fini, et $C=\Rep(G)$ être la catégorie monoïdale des représentations complexes de dimensions finies de $G$. Comme$C$ est fini et semi-simple, on peut obtenir toutes les représentations de $\oplus$ et un ensemble fini $I$de représentations irréductibles. Par la théorie classique des caractères, il y a une bijection (non canonique) entre$I$ et $\mathrm{Conj}(G)$. Dans ce fil, j'espère comprendre une bijection, le cas échéant, entre les deux côtés avec la considération de$\otimes$.
Pour être plus précis, laissez $V$ être une représentation fidèle irréductible de $G$. Ensuite, chaque représentation se produit comme un sous-module de$V^{\otimes n}$ pour certains $n$(cf ceci et cela ), et vice versa! On dit alors que$V$ génère lui-même $C$ en dessous de $\otimes$et achèvement de Cauchy. Cependant, tous les groupes n'ont pas une représentation fidèle irréductible. Dans le même billet , on peut voir que cela concerne largement le "rang" du socle de$G$.
Pour résumer, définissez le rang, $\rank(G)$, pour être le nombre minimal d'éléments nécessaires pour générer $\mathrm{socle}(G)$sous conjugaison. Définissez le rang,$\rank(C)$, pour être le nombre minimal d'éléments irréductibles nécessaires pour générer $C$ en dessous de $\otimes$et achèvement de Cauchy. ensuite
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
Question
Cette équivalence se généralise-t-elle à
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
pour chaque nombre naturel $n$?
( EDIT Comme Qiaochu l'a souligné dans le commentaire, cela est vrai pour les groupes abéliens finis par la dualité de Pontrjagin.)
Réponses
La réponse à votre question est oui et est le théorème principal de l'article Žmudʹ, È. M. Sur les représentations linéaires isomorphes de groupes finis. Tapis. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.
Il peut être trouvé dans le théorème 5 à la page 245 des caractères des groupes finis. Partie 1. par Berkovich et Žmudʹ. Le théorème est formulé d'une manière différente, mais équivalente, et est prouvé d'une manière très similaire au théorème de Gaschutz.
Le théorème de Žmudʹ dit que $G$ a une représentation fidèle avec $k$ constituants irréductibles si et seulement si le socle de $G$ peut être généré comme un sous-groupe normal par au plus $k$éléments. En particulier, le plus petit nombre de générateurs normaux de$\mathrm{socle}(G)$ coïncide avec le plus petit nombre de constituants irréductibles dans une représentation fidèle de $G$.
Il suffit maintenant d'observer $\mathrm{rank}(C)$ est exactement le nombre minimal de constituants irréductibles dans une représentation fidèle de $G$. En effet, si$V$ est une représentation fidèle, alors le théorème de Burnside (ou la généralisation de R. Steinberg) montre que tout module irréductible est une somme directe dans une puissance tenseur de $V$ et donc les constituants irréductibles de $V$ produire $C$sous produit tensoriel, sommes directes et prise de sommations directes. D'autre part, si$\rho_1,\ldots, \rho_k$ sont des représentations irréductibles dont la somme directe n'est pas fidèle, alors $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ agit comme identité sur tous les modules de la sous-catégorie générée par les modules simples correspondants sous les opérations de somme directe, de produit tensoriel et de prise de sommations directes et ainsi ces représentations irréductibles ne peuvent pas générer $C$.
Donc $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$