Résolution de la récursivité par analogie avec une équation différentielle

Question

Je suis tombé sur ce problème:

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Laisser séquence $u_n$ être défini par son premier terme $u_0 > 0$ et $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Trouvez une formule asymptotique pour $u_n$.

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Je pensais que nous pourrions le résoudre par analogie avec l'équation $$f' = \frac{1}{f}$$ ce qui donne la formule asymptotique $u_n \sim \sqrt{2 n}$, et c'est en effet la bonne réponse.

Plus généralement, est-ce que nous prenons $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, quelles seraient les conditions sur une fonction continue, positive et décroissante $f$ telle que la méthode d'analogie avec une équation différentielle donne la bonne formule asymptotique?

Merci beaucoup !

Answer 1

Comme indiqué dans le commentaire ci-dessous, cette réponse est incorrecte

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Supposer que $y$ est une solution à l'équation différentielle $y' = f(y)$, et $u_n$ résout la récurrence $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ avec $u_0 = y(0)$. Par le théorème de la valeur moyenne, nous trouvons que pour tous$n$, il existe un $c \in [n,n+1]$ Pour qui $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Car $f$ diminue, nous avons $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Maintenant, supposons que $w_n$ satisfait $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, et $w_0 = y(1)$. Nous trouvons inductivement que$u_n \leq y(n) \leq w_n$. En particulier, nous pensons que si l'inégalité est valable$n = k$, puis $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ et l'inégalité $y(k+1) \geq u_{k+1}$ peut être vu de la même manière.

Sur ce, nous pouvons conclure ce qui suit: si $f$ est telle que la récurrence $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ a les mêmes asymptotiques pour tous $u_0 > 0$, alors il s'ensuit que les asymptotiques de la séquence $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ généré à partir d'une solution à $y' = f(y)$ avec $y(0) > 0$ sont identiques.