Résoudre$x^3-3x^2+4x-12=0$Sans factorisation (méthode de Cardano)
La question : résoudre$$x^3-3x^2+4x-12=0$$sans recourir à l'affacturage (méthode de Cardano ?)
Je dois donc d'abord appuyer sur l'équation pour faire la substitution$x=z+1$. Nous savons que c'est la substitution car elle devrait être de la forme$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Cela nous donne alors
$$z^3+z-10=0$$
Par la méthode de cardano, on sait que$p=1$et$q=-10$. Ainsi nous avons cela
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Résoudre ce système donne (je crois) pour$a$donne
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
et donc
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
J'ai essayé de réduire cela du mieux que je peux, mais je ne peux trouver aucune des solutions.
Si je devais factoriser l'équation originale, je devrais obtenir
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Alors, où est-ce que je fais mon erreur ?
Réponses
Vos calculs sont corrects, mais il faut compléter la méthode de Cardano. Une fois que vous avez calculé$a$et$b$, les racines de la cubique déprimée sont les suivantes :
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Puisque dans ton cas$a=1+2/\sqrt{3}$et$b=1-2/\sqrt{3}$(voir ci-dessous la procédure de démêlage pour obtenir ces valeurs), les formules donnent
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Comme$x=z+1$, vous avez
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
EDIT : comme indiqué correctement dans les commentaires, un problème clé dans l'application de la méthode de Cardano est que, dans certains cas, il est nécessaire de démêler certaines racines cubiques. Cela peut parfois être assez difficile. Certaines méthodes ont déjà été signalées dans les liens fournis dans l'un des commentaires. Je suggérerais une approche possible qui fonctionne parfois bien pour le radicande de la forme$J+K\sqrt{n}$. Les méthodes comprennent ces étapes :
définir la racine cubique sous la forme$\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, avec$J$et$K$entiers ;
supposons que le radicande$A=J\pm K\sqrt{n}$peut être exprimé comme$(j\pm k\sqrt{n})^3$, avec$j$et$k$nombres rationnels;
après expansion$(j\pm k\sqrt{n})^3$et en divisant ses termes en deux groupes dont les sommes sont égales à$J$et$K\sqrt{n}$, utilisez les équations résultantes pour déterminer$j/k$. C'est l'étape la plus longue, car elle nécessite de rechercher les racines rationnelles d'une nouvelle équation cubique à l'aide du théorème de la racine rationnelle, ce qui peut parfois être délicat;
enfin, déterminer les valeurs de$j$et$k$.
Pour mieux illustrer cette méthode, essayons-la pour le cas spécifique$\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$(la même méthode peut être utilisée pour le cas où le radicande est$5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). Tout d'abord, nous devons définir le radicande de sorte que$J$et$K$sont des entiers :
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Faisons maintenant l'hypothèse$A=(j+k\sqrt{3})^3$. Par conséquent
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
pour que nous puissions écrire
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Notez que$j$et$k$doivent être tous les deux positifs. A partir des deux équations ci-dessus, nous avons
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Il faut maintenant essayer de déterminer$j/k$. Divisant les deux membres en$k^3$et en déplaçant tous les termes vers le LHS, nous avons
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Paramètre$x=j/k$et en simplifiant les coefficients, on obtient
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
En utilisant le théorème de la racine rationnelle, nous pouvons rechercher une racine rationnelle$p/q$pour la dernière équation, où l'entier$p$divise$135=3^3\cdot 5$et l'entier$q$divise$26=2\cdot 13$. Pour accélérer la recherche d'une racine réelle, on peut observer que pour$x=1$et$x=2$le LHS donne$-10$et$1$, respectivement, de sorte que la valeur d'une racine réelle doit être comprise entre$1$et$2$. Après quelques essais, on obtient facilement$x=3/2$. L'équation peut alors être réécrite comme
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
d'où nous obtenons directement que les deux autres racines ne sont pas réelles.
Depuis$x=j/k=3/2$, nous pouvons enfin déterminer$j$et$k$en faisant la substitution$k=2j/3$dans les équations initiales. Par exemple, en remplaçant dans l'équation$(j^2+9k^2)=135$, Nous avons
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
et rappelant que$j$et$k$sont positifs,
$$j=3$$
$$k=2$$
Nous pouvons maintenant conclure que
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
de sorte que la racine cubique initiale est
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Encore une fois, il faut souligner que cette méthode ne fonctionne que dans certains cas (même lorsque le rationnel$j$et$k$existent, l'étape limitante la plus importante est la recherche de la racine rationnelle$x$, ce qui, comme déjà dit, peut être très difficile).
En dehors de la rétro-substitution$x=z+1$pour terminer le processus de solution, vous ne vous trompez pas. Le casus irreducibilis est couramment décrit pour les équations cubiques à trois racines réelles, mais un problème similaire se produit lorsque vous avez une racine rationnelle (et dans ce cas, il n'est pas nécessaire que ce soit les trois racines). En effet, vous ne pouvez pas simplifier votre expression radicale pour récupérer$z=2$analytiquement; vous devez au préalable deviner la racine rationnelle (ou faire une supposition équivalente impliquant une autre équation cubique de structure similaire, comme indiqué dans une autre réponse).
Quand je mets ton expression pour$z$dans une calculatrice je reçois$2.000000...$, ce qui semble assez proche de votre valeur prévue de$z=2$.