séquence de progression arithmétique, $\gcd(a,b)=1$

Nov 23 2020

J'ai cette question sur la progression arithmétique.

pour un nombre naturel $k>1$, la séquence : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

sa longueur est $K$

J'ai besoin de choisir $L$ > 0 Nombre naturel qui rend chaque nombre de la séquence relativement premier.

et $a[i]-a[i-1]=d$ statique

(pas de diviseur commun avec tout autre nombre dans la séquence $\gcd(a,b)=1$)

Réponses

achillehui Nov 23 2020 at 22:35

Laisser $a_i = iL + 1$ pour $i = 1,\ldots K$.

Pour toute $i \ne j$, laisser $d = \gcd(a_i,a_j)$.

Depuis $d$ divise les deux $a_i$ et $a_j$, $d$ se divise $ia_j - ja_i = i-j$.

Depuis $1 \le i,j \le K$, nous avons $1 \le |i-j| \le K-1$. Cela implique$$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

Si nous choisissons $L$ être n'importe quel multiple de $(K-1)!$, puis $d|L$. Par conséquent,

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

Depuis $i, j$ sont arbitraires, cela signifie chaque fois que $L$ est un multiple de $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$, tout $a_i, a_j$ sont premiers relatifs par paires les uns par rapport aux autres.

Remarque

  • $\color{blue}{[1]}$ - Si vous voulez un plus petit $L$, vous pouvez remplacer $(K-1)!$ par ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ et cela fonctionne aussi.