Séquences Følner aux formes étranges
Laisser $G$être un groupe discret et fini. Rappeler que$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$est une séquence de Følner si$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ pour chaque $g \in G$. Comme on le sait, l'existence d'une séquence de Følner équivaut à la facilité de$G$.
On dit souvent que les séquences de Følner ont des formes étranges . Ma petite question est la suivante: quels exemples avons-nous pour étayer cette affirmation? Bien sûr si$G$est de croissance sous-exponentielle, alors une sous-séquence de boules forme une séquence de Følner, et cela n'a pas une forme étrange . D'où, plus précisément: quels exemples de groupes de croissance exponentielle connaissons-nous qui ont des séquences de Følner explicites non faites de boules?
Comme exemples des exemples que je demande, la séquence de Folner en forme d'étoile demande des ensembles de Følner d'une certaine forme, tandis qu'une réponse des ensembles et des boules de Folner donne des séquences explicites faites de rectangles (par opposition à des boules). De même, le groupe ax + b a une séquence de Følner constituée de rectangles où un côté est exponentiellement plus grand que l'autre.
Réponses
L'algèbre est plus utile ici que les images, mais les images sont amusantes, alors voilà. Pour étayer mon commentaire sur l'allume-lampe, des rendus rapides d'une boule typique et d'un ensemble d'allumeur Følner. En fait, je ne sais pas lequel de ceux-ci est le plus joli, mais l'ensemble Følner est en fait celui qui ressemble le plus à une balle.
Les deux images sont prises sous des angles différents et forment ainsi un stéréogramme, donc si vous regardez l'image la plus à gauche avec votre œil droit et vice versa, votre stéréopsie devrait entrer en jeu. Je trouve cela utile, si vous ne le faites pas, vous pouvez ignorer l'un des les images.
Tout d'abord, la balle ou le rayon $3$avec les générateurs où la tête bouge. Lorsque la tête se déplace vers la droite, vous remontez le diagramme. J'utilise certaines conventions, qui sont vraisemblablement devinables.
Voici un ensemble Følner typique avec les mêmes générateurs.
Cette question était populaire dans les années 50 et 60 après la démonstration du théorème de Folner. De nombreux exemples de décors étranges de Folner ont été construits. Les exemples typiques de groupes où les ensembles de Folner ne sont ni des boules sont des groupes d'allume-réverbères et les produits de guirlande de groupes cycliques infinis. Pour des articles plus récents, voir Anna Erschler. Sur les profils isopérimétriques de groupes finis. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 et les références qui y figurent.
Une réponse à votre question non douce est que les groupes suivants ont tous [au moins un] groupe électrogène où les boules sont connues pour ne pas être Folner, mais une autre séquence ("rectangulaire") est: résoluble Baumslag-Solitar, certains produits de couronnes (y compris l'allumeur de réverbère), certaines extensions de$\mathbb{Z}^d$ par $\mathbb{Z}$ (ceux donnés par une matrice sans valeurs propres de norme 1), certains $ax+b$ groupes et pratiquement tous les groupes de croissance exponentielle dont la série de croissance est rationnelle et a été calculée (voir ci-dessous pour plus de détails).
"étrangeté" des ensembles de Folner: Comme mentionné dans la question, [une sous-séquence de la séquence de] boules forme une séquence de Folner naturelle dans n'importe quel groupe de croissance sous-exponentielle. Maintenant, comme l'ont souligné d'autres, les boules (par rapport à un groupe électrogène fini) sont assez "laides". Cela peut être précisé si l'on considère le concept d'un ensemble de Folner optimal:
Laisser $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (les $\inf$ court sur tous les ensembles $A$ de taille $\leq n$) soit le profil isopérimétrique. Puis un ensemble$F$ est optimal si $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. En mots: si un ensemble$E$ n'est pas plus grand [en termes de cardinalité] que $F$, alors c'est le rapport isopérimétrique $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, ne bat pas le rapport isopérimétrique de $F$.
On peut vérifier (en utilisant l'inégalité de Loomis-Whitney) que le Folner optimal s'installe $\mathbb{Z}^d$(par rapport au groupe électrogène habituel) sont des [hyper] cubes (ou qu'ils ont tendance à avoir une forme rectangulaire). C'est une manière non équivoque de dire que les balles sont des ensembles de Folner "maladroits". En comparaison, les ensembles optimaux ne sont pas du tout «bizarres» (puisqu'ils doivent être extrêmement bien choisis).
Pour en savoir plus sur l'étrangeté, consultez les notes d'accompagnement ci-dessous.
Exemples explicites: Ensuite, étant donné un groupe de croissance exponentielle, c'est une question ouverte de savoir si une sous-séquence de la séquence de boules est Folner. J'ai donné une réponse partielle qui montre que ce n'est pas le cas lorsque le groupe [avec le choix du groupe électrogène] a pincé une croissance exponentielle. Cela comprend de nombreux produits de couronnes, des groupes Baumslag-Solitar solubles et certaines extensions de$\mathbb{Z}^d$ par $\mathbb{Z}$ (voir le lien pour plus de détails).
Ces groupes peuvent tous être écrits comme des produits semi-directs. Si$G$ et $H$ sont prêts, alors on peut montrer que $G \rtimes H$ est prêt et que les ensembles Folner sont de la forme $E_n \times F_n$ (où $E_n$ [resp. $F_n$] est une séquence de Folner de $G$ [resp. $H$]). En ce sens, les ensembles de Folner que nous rencontrons (paresseusement, dans le sens où ils sont produits par une preuve générale) dans de tels groupes sont "rectangulaires".
D'où les groupes mentionnés ci-dessus [Baumslag-Solitar résoluble, certains groupes métabéliens, groupes dont la série de croissance est rationnelle et n'ont pas deux pôles au rayon de convergence (qui comprend de nombreux produits de couronne et $ax+b$-groups)] sont une réponse directe à votre deuxième question (pour certains groupes électrogènes). On sait que les boules (par rapport aux groupes électrogènes) ne sont pas Folner mais un ensemble "rectangulaire" l'est (juste pour être précis: il pourrait y avoir des groupes à un seul pôle qui ne sont pas des produits semi-directs ou des extensions de groupes susceptibles; pour ces groupes [ s'il en est connu] il n'y a pas d'ensembles "rectangulaires").
Pour les extensions non séparées, une description des ensembles Folner a été donnée là-bas par Ycor. Remarquez que l'on pourrait adapter le sens de "rectangulaire" pour les extensions non fractionnées: en prenant une pré-image de l'ensemble de Folner des quotients de temps d'un ensemble de Folner du sous-groupe.
Alors maintenant, on pourrait penser que les ensembles "rectangulaires" (et non plus des boules) sont les favoris. Mais alors il y a aussi des groupes simples de croissance intermédiaire voir cette question . Et (sinon pour de tels groupes, alors pour d'autres groupes simples de croissance sous-exponentielle) je suppose que les balles sont les seuls candidats que l'on ait.
Fondamentalement, je pense que le problème est davantage lié à la façon dont nous construisons des groupes réceptifs. Nous utilisons toujours les quatre propriétés d'aménabilité (extension, sous-groupe, quotient et limite directe). Ainsi, on commence par la croissance comme critère de base, et utilise ces quatre propriétés (il y a peut-être de nombreuses façons de le faire). Cela vous donnera les ensembles Folner connus pour un groupe donné. À titre d'exemple idiot, vous pourriez dire que Folner naturel s'installe$\mathbb{Z}^3$ sont des cylindres (billes dans $\mathbb{Z}^2$ fois les balles dedans $\mathbb{Z}$).
Note latérale 1: c'est une question ouverte de longue date pour prouver ce que sont de tels ensembles dans le groupe (continu) de Heisenberg (bien que la forme conjecturée soit bien décrite). C'était ma motivation pour cette question.
Note d'accompagnement 2: Comme indiqué par Ycor, étant donné une séquence de Folner$F_n$ vous pouvez le rendre "aussi étrange que vous le souhaitez" en considérant une séquence arbitraire d'ensembles finis $E_n$ avec $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. L'un des avantages de considérer des séquences de Folner optimales serait d'éviter de telles configurations (l'inconvénient évident est qu'il n'y a presque pas de groupes où les ensembles optimaux sont connus). Une autre note est que l'ajout d'un tel ensemble$E_n$n'a aucune influence sur la mesure invariante obtenue (pour un ultrafiltre fixe). Notez que la traduction des ensembles peut avoir un effet sur la mesure limite.
Note latérale 3: Voici un autre aspect de «l'étrangeté» des décors de Folner. Considérez la séquence$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, aussi bien que $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ d'ensembles dans $\mathbb{Z}$. Considérons ensuite la fonction$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. La moyenne invariante que l'on obtient de$P_n$ au $f$ vaut 1 (quel que soit l'ultrafiltre que vous choisissez), celui avec lequel vous obtenez $M_n$ est $-1$ (encore une fois, quel que soit l'ultrafiltre) et enfin celui avec lequel vous obtenez $A_n$dépend de l'ultafiltre que vous choisissez. Et vous pouvez construire pour n'importe quel nombre réel dans$[-1,1]$ une séquence $R_n$qui converge vers ce nombre (indépendamment de l'ultrafiltre). Il n'est pas trop difficile de construire une séquence qui peut, selon l'ultrafiltre, converger vers n'importe quel nombre rationnel dans$[-1,1]$.