Si $A$ est un sous-ensemble de la ligne réelle $\mathbb R$ et $\mathbb Q \subseteq A$ lequel des énoncés suivants doit être vrai?

Aug 20 2020

Si $A$ est un sous-ensemble de la ligne réelle $\mathbb R$ et $A$ contient chaque nombre rationnel, lequel des énoncés suivants doit être vrai?

(a) Si $A$ est ouvert, alors $A = \mathbb R$.

(b) Si $A$ est fermé, alors $A = \mathbb R$.

(c) Si $A$ est indénombrable, alors $A = \mathbb R$.

(d) Si $A$ est indénombrable, alors $A$ est ouvert.

(e) Si $A$ est dénombrable, alors $A$ est fermé.

Mon approche:

(a) Faux. $A$ pourrait être dire $\mathbb R\setminus \{\sqrt{2}\}$ qui est ouvert car il s'agit essentiellement de l'union de deux ensembles ouverts $(-\infty, \sqrt 2) \cup (\sqrt 2, \infty)$.

(b) Vrai. $\bar {\mathbb Q}$ est le plus petit ensemble fermé contenant $\mathbb Q$. Et nous savons$\bar {\mathbb Q} = \mathbb R$. Donc si$A$ est fermé, alors $A = \bar A = \mathbb R$. Il ne peut pas être plus grand que$\mathbb R$.

(c) Faux. $\mathbb R \setminus \{\sqrt{2}\}$ contient $\mathbb Q$ mais est indénombrable.

(d) Je n'en suis pas sûr mais je pense que c'est faux. Quelqu'un pourrait-il donner un exemple explicite d'un ensemble indénombrable$A$ contenant $\mathbb Q$ c'est ouvert?

(e) Faux. Un contre-exemple est$\mathbb Q$lui-même. Nous savons que$\mathbb Q$n'est ni ouvert ni fermé dans$\mathbb R$.

Réponses

4 BrianM.Scott Aug 20 2020 at 01:59

Je pense que pour (d) vous voulez en fait un ensemble indénombrable $A$ contenant $\Bbb Q$ce n'est pas ouvert. Un simple est$[0,1]\cup\Bbb Q$. (En (a), vous avez déjà donné un exemple de celui qui est ouvert.)

Vos autres réponses sont correctes.