Si $g$ est une fonction continue et croissante de $x$, prouve-le $g(X)$ est une variable aléatoire.

Question

L'exercice 2.3.12 de Grimmet Stirzaker Probability and Random processespose la question suivante. J'aimerais, si vous pouvez m'aider à vérifier ma solution.

Laisser $X$ être une variable aléatoire et $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$être continue et strictement croissante. Montre CA$Y = g(X)$ est une variable aléatoire.

Ma solution.

Comme $g$est une fonction monotone croissante, elle est injective (one-to-one). Autrement dit, si$x_1 < x_2$, ensuite $g(x_1) < g(x_2)$. Donc,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.

Je ne sais pas trop comment en déduire que $g$ est surjectif (sur).

Si $g$ est bijective, la fonction inverse $g^{-1}$ existe et est bien défini.

Par conséquent, l'ensemble

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

puisque $X$est une variable aléatoire. Par conséquent,$g(X)$ est une variable aléatoire.

Answer 1

La continuité et la stricte monotonie de $g$ne sont pas pertinents. Ce qu'il faut, c'est que$g$est une fonction Borel. Notez que l'une ou l'autre condition "$g$ est continue ","$g$ est monotone croissante »implique que $g$ est une fonction Borel.

Supposer que $g$est une fonction Borel. Laisser$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Observe ceci$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ car $g^{-1}(A)$est un ensemble Borel. D'où$g(X)$ est $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-mesurable, c'est-à-dire une variable aléatoire.