Si $M$ est un modèle de classe standard de ZFC isomorphe à $V$, alors c'est $M = V$?
Considérez la déclaration suivante: (T) "Si $M$ est un modèle de classe standard de ZFC isomorphe à $V$, puis $M = V$. "L'instruction (T) équivaut à:" Si la réduction transitive d'un modèle de classe standard $M$ of ZFC est égal à $V$, puis $M = V$. "C'est parce que l'effondrement transitif d'une classe $M$ est la classe transitive unique qui est isomorphe élémentaire à $M$.
Ici, par modèle de classe standard de ZFC, j'entends un modèle de classe de ZFC dont la relation élémentaire est la relation élémentaire réelle.
Supposons que ZFC est cohérent. ZFC prouve-t-il (T)? ZFC réfute-t-il (T)? Si non aux deux, ZFC avec un grand axiome cardinal supplémentaire réfute-t-il (T)?
Réponses
Non Définir $F:V\to V$ par $\in$-recursion comme $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. Clairement$F(x)$ est non vide pour tous $x$. Également,$F$ est injectif: si $F(x)=F(x')$, puis par induction sur $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ nous pouvons supposer $F$ est injectif sur $x\cup x'$. Depuis$F(x)=F(x')$ nous devons avoir $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, mais depuis $F$ est injectif sur $x\cup x'$ cela implique $x$ et $x'$ avoir les mêmes éléments et donc $x=x'$. Aussi clairement$y\in x$ implique $F(y)\in F(x)$, et l'inverse découle de l'injectivité de $F$.
Pris tous ensemble, cela montre que $F$ est un isomorphisme de $(V,\in)$ à $(M,\in)$ où $M$ est l'image de $F$. Mais$M\neq V$, depuis $\emptyset\not\in M$.