Si $p$ est un nombre premier impair et $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, puis $\alpha^2$ n'est pas un modulo racine primitif $p$.

Question

Prouvez vrai ou donnez un contre-exemple si faux.

Si $p$ est un nombre premier impair et $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, puis $\alpha^2$ n'est pas un modulo racine primitif $p$.

J'essayais de prouver que c'était vrai, mais je ne sais pas par où commencer. Je pensais utiliser le petit théorème de Fermat: si$p$ est un premier et $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, puis $\alpha^{(p-1)}=1$ mais comment faire le saut du FLT aux racines primitives? Une racine primitive est définie comme un élément$\gamma=\phi(m)$ mais comment cela est-il lié à ce problème?

Answer 1

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$La dernière étape découle de FLT.

Par conséquent, l'ordre de $a^2$ mod $p$ est au plus $\frac{p-1}{2}$, donc ce ne peut pas être une racine primitive par définition.