Si $r>0$ et $r\notin \mathbb{N}$, existe-t-il une méthode simple pour évaluer $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$

Dec 13 2020

Laisser $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. Empiriquement, j'ai remarqué la relation suivante:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$en particulier, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. Notez que si$r$ est un entier, la somme finie n'est pas bien définie, bien que nous ayons $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$donc dans ce sens la somme «s'annule». Mathematica renvoie la forme fermée de$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$qui quand $r\in\mathbb{N}$se réduit à cette question , mais je ne sais pas comment la déduire moi-même. Peut-être que je ne comprends pas entièrement les réponses, mais je ne pense pas que les mêmes astuces s'appliquent lorsque la somme ne se télescope pas. Donc, en résumé, mes questions sont:

  1. Quelqu'un peut-il expliquer la forme fermée?
  2. Existe-t-il une raison conceptuelle simple pour laquelle la somme finie est le négatif de la somme infinie?

Réponses

2 CarlSchildkraut Dec 13 2020 at 08:31

Voici un calcul de la somme totale de $n=0$ à $\infty$, ce qui peut permettre de calculer la somme finie. Puisque$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$$\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, nous avons $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ en particulier, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ Donc, nous voulons évaluer $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ Considérer $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ Nous avons $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ également, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ et ainsi nous avons l'identité $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ n'importe quand $r>1$.