Si un analytique$f$satisfait l'une de ces deux conditions, alors elle est constante

Question

J'essaie des questions d'affectation d'un institut dans lequel je n'étudie pas. Je suis frappé sur ces 2.

1. Si$f$est une fonction différentiable d'une région$X$dans$\mathbb{C}$dans$\mathbb{R}$prouve-le$f$est nécessairement une constante.

2. Si$f$et$\bar {f}$sont à la fois analytiques dans une région$X$montrer qu'ils sont constants sur la région$X$.

Tentatives:

1. La région est toujours ouverte. Ainsi, gamme de$f$doit être ouvert (théorème de mappage ouvert) mais$\mathbb{R}$n'est pas ouvert dans$\mathbb{C}$même si c'est un singleton comme complément de$\{x\}$n'est pas fermé. Donc, je suis confus sur la façon dont je peux prouver la déclaration.

2. Pour 2, je n'ai rien à montrer car je ne sais vraiment pas quel résultat utiliser en raison de$\bar{f}$Dans la question.

Aide aimablement.

Answer 1

Votre preuve pour 1) est correcte. Pour 2), si les deux$f$et$\bar{f}$sont holomorphes (dérivables), alors le sont aussi$\mathrm{Re}(f)$et$\mathrm{Im}(f)$, mais leurs gammes se situent dans$\Bbb{R}$. D'après ce que vous avez prouvé en 1), ces deux éléments doivent être constants, d'où$f$est constant.