Solution à l'exercice de génération de fonction 1a.

Aug 16 2020

La question est:

  1. Trouvez les fonctions génératrices de séries de puissance ordinaires de chacune des séquences suivantes, sous une forme simple et fermée. Dans chaque cas, la séquence est définie pour tous$n\geq0$. (un)$a_n=n$

C'est la fonction$A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, que je réécris ainsi :$A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

Chacun des termes est une série géométrique, et j'ai donc écrit ceci comme

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

Par conséquent, ma réponse serait$A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Cependant, le corrigé à la fin du livre indique que la réponse est "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Bien que ma fonction génératrice ressemble au RHS du corrigé, je ne comprends pas ce que signifie le LHS. Y a-t-il quelque chose qui me manque ici ?

Réponses

2 FormulaWriter Aug 16 2020 at 17:15

La$LHS$est simplement une autre façon d'obtenir la même fonction génératrice que vous avez trouvée. Il dit : prendre la dérivée de$1/(1-x)$puis multiplier par$x$.