Stabilité de l'interpolation de déplacement en transport optimal

Question

Laisser$(X,d)$un espace métrique complet séparable, et soit$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$soit l'espace des mesures de probabilité sur$X$à moments seconds finis, muni de la distance 2-Wasserstein. On sait que les mesures discrètes sont denses à l'intérieur$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$- à savoir, étant donné$\mu \in \mathcal{P}_2 (X)$, et$\delta>0$, on peut trouver une mesure discrète$\mu_\delta$avec$W_2 (\mu, \mu_\delta)<\delta$.

Maintenant, laisse$\mu_0, \mu_1 \in \mathcal{P}_2 (X)$, et laissez$\mu_t$être un$W_2$connexion géodésique$\mu_0$et$\mu_1$(alias$\mu_t$est une interpolation de déplacement [pas nécessairement unique] entre$\mu_0$et$\mu_1$). L'interpolation de déplacement est-elle stable sous approximation discrète ? C'est-à-dire, peut-on choisir discret$\mu_{0,n}, \mu_{1,n}$tel que$\mu_{t,n}$est près de$\mu_t$pour tous$t\in[0,1]$?

Answer 1

L'interpolation de déplacement$\mu_t$ne doit pas être fixé a priori , en raison de la non-unicité des géodésiques de Wasserstein. Ainsi, la bonne question devrait être : fixez les séquences approchées$(\mu_{0,n}),(\mu_{1,n})$et$W_2$géodésiques$\mu_{t,n}$, et demander s'il en existe un $\mu_t$proche de$\mu_{t,n}$pour$t \in [0,1]$.