Sur une surface complexe compacte, toute 1-forme holomorphe est fermée

Question

Étant donné une variété complexe compacte$X$à deux dimensions. Alors toute 1-forme holomorphe$\omega\in H^{0}(X,\Omega^{1})$satisfait$d\omega=0$. Je veux savoir comment résoudre ce problème par une méthode simple.

Answer 1

Lorsque$X$est Kahler compact, puis suivi du théorème de Hodge,$H^0(X,\Omega^1)\cong H^{1,0}(X)$sont tous représentés par des formes harmoniques, en particulier, chaque holomorphe$1$-les formes sont harmoniques, donc fermées.

En général, travaillons avec$X$une surface complexe compacte. Laisser$\omega$une 1-forme holomorphe sur$X$, puis par le théorème de Stokes,

$$\int_{X}d\omega\wedge d\bar{\omega}=\int_Xd(\omega\wedge d \bar{\omega})=0.\tag{1}\label{1}$$

D'autre part, écrivez$d\omega=fdz_1\wedge dz_2$localement avec$f$holomorphe, donc$$d\omega\wedge d\bar{\omega}=-|f|^2dz_1\wedge d\bar{z}_1\wedge dz_2\wedge d\bar{z}_2=4|f|^2dx_1\wedge dy_1\wedge dx_2\wedge dy_2,$$

avec$z_j=x_j+iy_j$,$j=1,2$. Maintenant état$(\ref{1})$implique$f=0$, alors$d\omega=0$.